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1、 武汉科技大学数学建模概述 数值计算方法建模 基本方法建模 数学规划方法建模 统计分析方法建模第1章第2章第3章第4章第5章目 录图论方法建模第6章武汉科技大学第2章 数值计算方法建模v 2.1 非线性方程求解 非线性方程简介 u 次代数方程 u 超越方程武汉科技大学第2章 数值计算方法建模 非线性方程求解的MATLAB实现 x,fval,exitflag,output=fzero(f ,x0,options) r=roots(c) x,fval,exitflag,output=fsolve(f,x0,options)武汉科技大学第2章 数值计算方法建模v 例1 在无阻尼强迫振荡的研究中会经常
2、遇到函数 . 试求一点 ，满足 。解：建立M函数文件h.m： function y=h(x)y=x*sin(x)-1;在MATLAB指令窗中输入下面指令x0=0,2;x,fval,exitflag=fzero(h,x0)运行得结果为：x =1.1142，fval =2.2204e-016，exitflag =1，即所 求非线性方程的解为1.1142.武汉科技大学第2章 数值计算方法建模v 例2 求函数 的零点. 解：（1）为确定其零点的大体位置，先做出它的图形 ；（2）将图形放大得5个零点，利用ginput指令取其坐标；（3） 利用指令fzero 计算其相应精确坐标图2.1 图形放大法 武汉科
3、技大学第2章 数值计算方法建模v 例3 求解非线性方程组v 解：建立M文件f.m如下：function y=f(x)y(1)=x(1)2+x(2)2-4;y(2)=x(1)2-x(2)2-1;在MATLAB指令窗中输入指令x0=2,2;x,fval,exitflag=fsolve(f,x0,)武汉科技大学第2章 数值计算方法建模 建模示例：贷款问题u 问题：某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5% ，每月还1000元，试计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能 还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 武汉科技大学第2章 数值计算方法建模 1. 问题的分析每月的还款金额应包括本金
4、和利息两部分 。 2. 模型的建立记第 个月初此人欠银行 元，月利率为 ，每月还款 元， 则 建立数学模型如下： 将上式依次递推可得 武汉科技大学第2章 数值计算方法建模令 得 将所给数据代入上式可得=1110.3（元） 武汉科技大学第2章 数值计算方法建模2 -1 5 0;0 3 -4 2;0 0 2 -6;b=5;-9;19;2;x=Ab 运行得结果为：x=-2.0000,7.0000,0.4000,-0.2000武汉科技大学第2章 数值计算方法建模v 例2 验证Hilbert矩阵是一个典型的病态矩阵 （a）用4阶Hilbert矩阵求解 的精确解（用分数表示所有的元素 并进行精确计算）：（
5、b）使用精度为4位有效数字的算术计算求解 武汉科技大学第2章 数值计算方法建模v 解：（a） A=1 1/2 1/3 1/4;1/2 1/3 1/4 1/5;1/3 1/4 1/5 1/6;1/4 1/5 1/6 1/7; b=1;0;0;0; x1=Ab运行得（a）的解为：x=16.0000, -120.0000, 240.0000,-140.0000 （b） A=1.0000 0.5000 0.3333 0.2500;0.5000 0.3333 0.2500 0.2000; 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667;0.2500 0.2000 0.1667 0.1429;b=
6、1;0;0;0;x2= Ab, cond(A)运行得（b）的解为：x=18.7308,-149.6053,310.0628, -185.0881 cond(A)=19808武汉科技大学第2章 数值计算方法建模v 例3 已知带状稀疏方程组 用稀疏矩阵和满矩阵分别求解，并对运行时间进行比较武汉科技大学第2章 数值计算方法建模v 解：在MATLAB指令窗中输入下面指令A1=sparse(1:500,1:500,1,500,500);A2=sparse(2:500,1:499,1,500,500);A3=sparse(3:500,1:498,1,500,500); A=12*A1-2*A2-2*A2+
7、A3+A3; b=5*ones(500,1);tic;x=Ab;t1=tocAA=full(A); tic;xx=AAb;t2=tocy=sum(x),yy=sum(xx)运行得结果为:t1=0.0320，t2=0.2007，y=250.0147，yy=250.0147武汉科技大学第2章 数值计算方法建模 建模示例：种群繁殖问题u 问题：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养 的种群而言，为了保证稳定地收获，各个年龄的种群数量应维持不 变.由于种群繁殖主要取决于雌性个体，所以下面种群数量均指其中 的雌性.已知某种群年龄为 ，第 年 年龄种群的数量为 ， 繁殖率为 ，自然存活率为
8、 ，对给定收获量 ，建立数学模型， 使得各年龄的种群数量维持不变，并就 ， ，时，求各年龄种群的数量. 武汉科技大学第2章 数值计算方法建模 1. 问题的分析为了保证稳定地收获，需要维持各年龄的种群数量保持不变，根据 这个条件可以建立不同种群数量的等式关系 2. 模型的建立假设此种群的最高年龄为 ，则对第 +1年 年龄种群的数量 ，有 由于各年龄种群繁殖的后代均为年龄1的种群，所以有要使得各年龄的种群数量维持不变，需满足 ，于是建立 下面数学模型： 武汉科技大学第2章 数值计算方法建模令， ，得线性方程组 武汉科技大学第2章 数值计算方法建模求解得x=8481.0, 2892.4, 1335.
9、4, 6012.6，1405.1, 即各年各年 龄种群的数量应为81,2892,1335,6012,1405，才能保证种群数量的平 衡 y0=1./(1+x0.2); %产生节点（x0,y0)x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2); %产生插值点x y1=interp1(x0,y0,x); %使用分段线性插值并作图 figure(1),plot(x,y,b,x,y1,k:),grid y2=interp1(x0,y0,x,spline); %使用三次样条插值并作图figure(2),plot(x,y,b,x,y2,k:),grid 运行得图形见下图武汉科技大学第2章 数值计算方法建模v
10、 例2 在某山区（平面区域 内，单位：m） 测得一些点的高度（单位：m）见下表，试作出该山区的地貌图1200160020002400280032003600400044004800120011301250128012301040900500700780750160013201450142014001300700900850840380200013901500150014009001100106095087090024001500120011001350145012001150101088010002800150012001100155016001550138010709001050320015
11、00155016001550160016001600155015001500360014801500155015101430130012009808507504000145014701320128012001080940780620460440014301440114011101050950820690540380480014001410960940880800690570430290武汉科技大学第2章 数值计算方法建模v 解：编写M文件shanqu.m如下：x=1200:400:4800;y=1200:400:4800;z=1130 1250 1280 1230 1040 900 500 7
12、00 780 750; 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900; 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000;1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050;1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500; 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750;
13、 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460;1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380;1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290;figure(1),mesh(x,y,z), x1,y1=meshgrid(1200:50:4800,1200:50:4800); z1=interp2(x,y,z,x1,y1,spline);figure(2),mesh(x1,y1,z1)运行得得图形见下图。 武汉科技大学第2章 数值计算方法建模武汉科技大学第2章 数值计算方法建模v 例3 在某水道（平面区域 单位：m）测得一些 点的深度，数据见表2-3，已知某船只的吃水线为5米，试画出该水道的海 底地貌图及船的禁入区 v 解：在MATLAB中编写M文件haiyum如下：x=129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5;y=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5;z=-4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9;129 140 103.5 88 185.5 195
