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1、第1章 矢量分析1.1 标量场和矢量场1.4 标量场的梯度1.2 矢量场的通量 散度1.3 矢量场的环流 旋度 1.5 亥姆霍兹定理1.1 标量场和矢量场空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随 时间变化。则称该区域存在一标量场。例如,在直角坐标下, 标量场如温度场,电位场,高度场等。矢量场如速度场,电场、磁场等。空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有 时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。1.2 矢量场的通量 散度一、通量矢量场的通量 若S 为闭合曲面 定义矢量 A 沿有向曲面S 的面积分为矢量 A 穿过有向曲面S 的通量二、散度
2、直角坐标系中散度的计算公式如果包围点P 的闭合面S 所围区域 以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A 在P 点的散度。即三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性。 A = 0 (无源）在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。= 0 (正源) A = 0 (负源)四、高斯定理(散度定理)n1=-n2n1n2 高斯定理对于有限大体积 ，可将其按如图 方式进行分割，对每一小体积元有式中S为 的外表面 该公式表明了区域 中场A与边界S上的场A之间的关系
3、。1.3 矢量场的环流 旋度一、环流定义矢量场A沿空间有向闭合曲线C的积分 为A的环流二、旋度1. 环流密度 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为C,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋关系。当S 收缩至P 点附近时,存在极限环流的计算 该极限值与S 的形状无关，但与S的方向n 有关。称为矢量场 A 在P 点沿n 方向的环流密度2. 旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向 。用 表示它与环流密度的关系为在直角坐标系下三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 点P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。四、
4、斯托克斯定理由旋度的定义对于有限大面积S，可将其按如图方 式进行分割，对每一小面积元有斯托克斯定理1.4 标量场的梯度一、 方向性导数与梯度等值面：标量场中量值相等的点构成的面。方向性导数 考虑标量场中两个等值面梯度 由方向性导数的定义可知：沿等值 面法线 的方向性导数最大。故标量场 在P点的梯度是一个矢量大小：最大方向性导数方向：最大方向性导数所在的方向为标量场 在P点沿 方向的方向 性导数。其大小与方向 有关。 定义标量函数 沿给定方向 的变化率。可得在直角坐标系中梯度的计算公式1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量惟一地确定）亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。
