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1、高考前夜数列核心问题剖析一般数列的和求项功能分析 已知Sn的表达式求an的表达式 从含有和与项的递推关系式中消去和得到 项的递推关系式 从含有和与项的递推关系式中消去项得到 和的递推关系式 求出和或项后进一步利用原始关系可以求 出项与和 数列的首项问题可能要从原始关系得到1由和求项由和求项特例1特例2 已知an+1=2Sn+1，a1=2 求an n2时，an=2Sn-1+1 与an+1=2Sn+1相减并整理得： an+1=3an (n2)消和求项再求和例1 已知an=2Sn+1， 求an a1=-1 n2时，an-1=2Sn-1+1 与an=2Sn+1相减并整理得： an=-an-1 (n2)
2、消和求项再求和例2消项求和再求项绝对和 an=2n-7,求|a1|+ |a2|+ |an| 当n3时|a1|+ |a2|+ |an| =-(a1+a2+a3)+a4+a5+an =a1+a2+an-2(a1+a2+a3)绝对和2 Sn =n2-70n,求|a1|+ |a2|+ |an| 当n35时an35时|a1|+ |a2|+ |an| =-(a1+a2+a35)+a36+a37+an =a1+a2+an-2(a1+a2+a35) =Sn-2S35绝对和2 Sn =n2-70n+70,求|a1|+ |a2|+ |an| 当2 n35时an0 |a1|+ |a2|+ |an|=2a1-(a1+
3、a2+an)=2- Sn 当n35时|a1|+ |a2|+ |an| =2a1-(a1+a2+a35)+a36+a37+an =2a1+(a1+a2+an)-2(a1+a2+a35) =2+Sn-2S351：在等差数列中,求Sn 的最大(小) 值 即:当a1 0,d0,解不等式组 an 0 ，an+1 0 可得Sn 达 最小值时的n的值; 一般数列 an0时SnSn-1,an0增，an-an-10时递增数列，d=0时递减数列 d=0时是常数数列例题简单性质的综合应用 三角形内角A,B,C依次成等差数列 2B=A+C A+B+C=3B=1800 B=600简单性质的综合应用 B=600 a,b,
4、c成等比数列,b2=ac 由余弦定理:b2=a2+c2-2accos600 ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0 三角形ABC为等边三角形简单性质的综合应用 B=600 a2=bc ，b,a,c成等比数列, B要么最大，要么最小 三角形ABC为等边三角形等差数列的通项公式 a1=a1 a2-a1=d a3-a2=d , an-an-1=d an=a1+(n- 1)d等比数列的通项公式 a1=a1 a2a1=q a3a2=q , anan-1=q an=a1 qn-1迭加迭乘法 an=an-1+n an=an-1+2n+1 an=an-1+2n等差数列通项公式辨析 an=a1+(n-1)d
5、=a2+(n-2)d =a3+(n-3)d , =am+(n-m)d等差数列通项公式辨析 an=kn+b k=d a1=k+b定义的变通an-1+an+1=2an am+n =am+an b f(x+y)=f(x)+f(y)-b f(x+1)=f(x)+f(1)-b变化 an是等差数列，则 kan+b是等差数列 an， bn是等差数列，则 an +bn是等差数列例题1和序列 an， bn是等差数列， cn=an+bn a1=1,b1=1,a2=1.3,b2=2.7 an +bn的通项公式 cn=2n公共项序列 an， bn是等差数列， 则其公共项构成一个等差 数列 公差是他们的公差的最小 公倍
6、数实例 1，3，5，7， 3,12,21,30, 其公共项构成一个等差数 列 公差是18变化 1a，3a，5a，7a， 3a,12a,21a,30a, 其公共项构成一个等差数 列 公差是18a等差数列与等比数列的联系变化 an等差， 则an+10, a10n等差变化 an， bn是等差数列，公 差d1,d2,bnN*,则变化 an等差，则 a1+a2,a2+a3,a3+a4, a1+a2,a3+a4,a5+a6,. 等差a1+a2+a3, a4+a5+a6, a7+a8+a9， ,等差a1+a2+am, am+1+am+2+a2m, a2m+1+a2m+2+a3m， ,成等差数列 公差m2dS
7、n,S2n-Sn,S3n- S2n,是等差数列实例：等差数列an中a1+a4+a7+a97, a2+a5+a8 +a98, a3+a6+a9 +a99， 等差具体例题a1+a4+a7+a97=1, a2+a5+a8 +a98=2, a3+a6+a9 +a99=3a1+a2+a3+a99=3, a2+a5+a8 +a98=1换成等比数列a1+a4+a7+a97=1, a2+a5+a8 +a98=2, a3+a6+a9 +a99=4等比数列通项公式辨析 an=a1 q(n-1) =a2 q(n-2) =a3 q(n-3) , =am q(n-m)等比数列通项公式辨析 an=A Bn B=q a1=
8、AB定义的变通an-1an+1=an2定义的变通am+n =am an b f(xy)=f(x) f(y)b f(x+1)=f(x)f(1)b变化 an是等比数列，则 kan是等比数列 |an |是等比数列变化ank是等比数列 an， bn是等比数列 ，则 anbn是等比数列 an， bn是等比数列，则 当且仅当公比相等时 an+bn是等比数列 2an+3bn也是等比数列变化 an， bn是等比数列， 则其公共项构成一个等比 数列 公比是他们的公比的最小 公方 数变化 21，23，25，27， 21,24,27,210, 其公共项构成一个等比数 列 公比是26。对比变化 an等b比，则 a1+
9、a2,a2+a3,a3+a4, a1+a2,a3+a4,a5+a6,. 等比a1+a2+a3, a4+a5+a6, a7+a8+a9， ,等比a1+a2+am, am+1+am+2+a2m, a2m+1+a2m+2+a3m， ,成等比数列 公比qmSn,S2n-Sn,S3n- S2n,是等比数列变化 an等b比，则 a1a2,a2a3,a3a4, a1a2,a3a4,a5a6,. 等比a1a2a3, a4a5a6, a7a8a9， ,等比a1a2am, am+1am+2a2m, a2m+1a2m+2a3m， ,成等比数列 公比(qm)m.a1+a3+a5+a7=4a4 a2+a4+a6=3a4
10、 a9=(a1+a17)/2=S17/17等差数列的拓展性质正项数列an,bn分别等 差等比 a1=b1,am=bm an 与 bn大小关系公差于公比的类比通项公式的类比数列性质的类比等差数列中的重要性质：法1 等差数列中a1+a8=a4+a5 a1a8与a4a5谁大谁小？ 和一定相等时积最大，差(绝 对值)越小,积越大，差越大积 越小，差最大积最小 a1a8 a4a5法2 等差数列中a1+a8=a4+a5-（ 1） a1a8与a4a5谁大谁小？ |a1-a8|a4-a5|-（2） (1)2-(2)2得 a1a8a4a5法1 等比数列中a1a8=a4a5 a1 +a8与a4 +a5谁大谁小？
11、积一定相等时和最小，差(绝对值 )越小,和越小，差越大和越大，差 最大和最大 a1 +a8a4 +a5法2 各项为正数的等比数列中 a1a8=a4a5-（1） a1 +a8与a4 +a5谁大谁小？ |a1-a8|a4-a5|-（2） 4(1)2+(2)2得 a1 +a8 a4 +a5递增的等差数列中 a1+a8=5,a4a5=6 a1+a8=a4+a5=5 a4=2,a5=3 an=2+(n-4) 1递增的等比数列中 a1+a8=5,a4a5=6 a4a5=a1a8=6 a1=2,a8=3和的性质片断和数列的公差 若an为等差数列,公差为d Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成一个新的等差数列
12、 公差为n2d等比数列的片断和 a1+an=54, an+1+a2n=6, a2n+1+a3n=? Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列 (S2n-Sn)2= Sn(S3n-S2n) 62=54(S3n-60)等比数列的片断和 a1+an=54, an+1+a2n=6, a2n+1+a3n=? 作为选择题还可以取n=1 则已知成为 a1=54,a2=6,可求a3判断等差数列数列的公差30-7联想229-429-4联想29-4解析等比数列等差数列中若a50=0等比数列中若a50=1等差数列中 am=n,an=m am+n=0 am=km+b=n an=kn+b=m 两式相减得 k=-1,
13、b=m+n am+n=k(m+n)+ b =0 若知k就是d am+n=am+nd =n-n=0tujieSm=Sn,(mn) Sm+n=0Sm=n,Sn=m Sm+n=-(m+n)从裂项的角度联想从不等式放缩的角度联想 教学反馈中，我们发现这种方法 尽管容易被学生接受，但学生在 运算过程中也很容易出错.在高考 阅卷中，我们也发现能用“错位相 减法”算出正确结果的考生少之又 少.裂项法，迭加法，迭乘法， 归纳法递推数列转换法1 a1=1,an=2(an-1+an-2+a2+a1)(n1) n2时，an=2Sn-1 n3时，an-1=2Sn-2 两式相减并整理得an=3an-1(n3) a1=1
14、, a2=2S1=2a1=2, an=a23n-2(n 2)2 an+an-1=3,a1=1 an+1+an=3 an+1=an-1 a1=a3=a5= 1 a2=a4=a4= 22 an+2=an+1-an a1=1,a2=5 an+3=an+2-an+1 an+3=an a1=a4=a7=1 a2=a5=a8=5 a3=a6=a9=4变式练习 an+1=2Sn+p， a1=2 为使数列an 成等比，充要 条件p=2 由 an+1=2Sn+p ，a1=2得： an+1=3an (n2) an+2=an+1-an an+3=an+2-an+1 两式相加得 an+3=-anan+3=-an an+6=-an+3 an+6=an数列递推公式的变形an+an+1=C,(等和数列)变 换得： an+1+an
