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1、张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform第一章 复数与复变函数1.1 复数及其几何表示1.2 复变函数 张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform1 复数及其几何表示一、复数的概念1、产生背景的数称为复数，其中称为虚单位，2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform二、复数的表示法1、(复平面上
2、的)点表示 -用坐标平面上的点r(1)此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform2、(复平面上的)向量表示-（1）模 的长度 ，记为 ，则（2）辐角( ) 与 轴正向的夹角 (周期性)张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform辐角主值:注注张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform3、三角（或
3、极坐标标）表示-由得欧拉公式5、代数表示- 张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复数的各种表示可相互转换在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。NSPyzZx6*、复球面表示- 将扩充复平面中的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。 张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform三、复数的运算1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角式、 指
4、数式3、共轭复数及运算性质zzyxo张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform四、复数的n次方根的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周称为主值。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform答疑解惑答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而 复数是无序的，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持 一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0和i加以讨论：1、复数能否比较大小，为什
5、么？注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数， 可比较大小。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的 运 算是否相同？ 答：有相同之处，但也有不同之处。 加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform典型例题题例1、判断下列命题题是否正确？
6、（1）（2）（3）（ ）（ ）（ ）张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例2、求下列复数的模与辐辐角（1） （2） （3） （4） 张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform解（1）（2）张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform（3）(4)张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integ
7、ral Transform例3、求满足下列条件的复数z：（1）（3）（2） 且张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例4 求方程的根。并将分解因式。解 ，则的其余三个根即为所求得由张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis
8、 and Integral Transform张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform2 复变函数一、复平面上的曲线方程平面曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform由代入知曲线C的方程可改写成复数形式若令，而，则曲线C的参数方程等价于复数形式 。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform二、简单曲线与光滑
9、曲线张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform三、区域 1、去心邻域3、区域及分类2、内点与开集区域连通的开集。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。注：闭区域，它不是区域。任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域，称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。 张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Comp
10、lex Analysis and Integral Transform四、复变函数的概念1、定义义对对于集合G中给给定的 ，总有一个（或几个）确定的复数 与之对应，并称G为定义集合，而称为函数值集合(值域).分类张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform2、复变函数 与实函数的关系 讨论一个复变函数 研究两个实二元函数 3、复变函数的单值性讨论张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform是否为单值为单值 函数？ 令 则 均为单值的
11、实二元函数 是单值函数。 故 张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform是单值函数吗？，均为多值的实二元函数张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform4. 映射复变函数的几何图形表示张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform函数在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点集 G （定义域）变变到 w 平面上的一个点集 G *（值值域）的一个映射（或映
12、照）。与 G 中的点为一一对应映射为双射张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform五、典 型 例 题例1、求 z 平面上的下列图图形在映射下的象。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform解 (1) 乘法的模与辐角定理How complex the expression are!张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transformuv4i图a虚轴轴上从点0
13、到4i的一段（见图见图 a ）。(1)记记 ，则则即w平面内4 图b(3) 自己解决。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform映为（4） 将直线线建立所满满足的象曲线线方程，消 ，是以原点为焦点，开口向左的抛物线线（见图见图 c1)vu图图c12其是以原点为为焦点，开口向右的抛物线（见图c2）。 将 线线映为为，消 x 得张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例2、 求下列曲线线在映射下的象解法一（1）消 x, y 建立
14、u, v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform（2）代入原象曲线方程，得w平面内的一条直线。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform解法二代入原象方程得 化为实为实 方程形式 （2）留作练习练习 。张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integr
15、al Transform张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform六、 复变函数的极限1. 复变函数的极限的定义张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform七、 复变函数的连续性张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform本章难点与重点张 长 华复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数；几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射；代数中，习
