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1、124 第三章光学薄膜的基本知识一个介质如果它的性质在过考察点并与某一固定方向相垂直的平面上的各个方向都一样，我们就叫它为分层介质。图3-1 就是分层介质的示意图，图中z轴所指的就是这一固定方向。对于图示的各层介质来说，其介电常数和磁导率( ) z，( ) z图 3-1 分层介质结构本章中我们由分析最基本的单层介质膜入手，进而分析周期性的多层介质膜。通过对多层高反膜、增透膜、干涉滤光片原理的介绍了解常见的光学薄膜的基本知识。最后通过金属膜理论的介绍了解吸收膜的性质。3-1 单层介质膜在一块玻璃基底上(n31.5)镀制一层厚度不到一个波长的氟化镁薄膜(n21.38)，膜的上方为空气(n11)，这
2、样的三层介质就构成了一个单层介质膜。光入射至单层介质膜，在膜层中有电磁场分布，对三层介质中的场量分析是以麦克斯韦电磁理论为依据。作为简化的处理方法， 我们直接运用电磁理论的结果来讨论各个区域中的总电场和磁场以及它们的边界条件。一、求特征矩阵的数学处理方法图 3-2 为一单层介质膜的示意图。设入射的单色平面波为一线偏振光，它可以分解为电矢量垂直于入射面的TE 波和电矢量平行于入射面的TM 波。由于E的垂直分量和平行分量在介质突变处的边界条件是相互独立的，所以这两种波相互独立。图3-2 中只画出了TE 波，以下的讨论就是针对TE 波进行的。至于TM 波，可以用类似的处理方法，得出 相应的结果。选取
3、相当于图3-1 中( , )x y坐标相同的两个考察点A、A，这种选取考察点的方法以后还要推广到多层膜。现在就用比较这些处于同一竖直轴上的点场量演化的方法来建立层与层之间电磁场的传输关系。图3-2a 中所标的Er、Er、Et等，都代表介质中该点上沿图中所标定方向传播的所有可能波的总和，由于求和的过程已经包含在内，所以不125 再追究得到它们以前的详细过程。在图 3-2b 中，将A和A点相比较， 对于介质中入射至界面上的平面波来说，这两点之间的相位差图 32 （a） 边界上的电磁场；（b） 过A、A两点等相面之间的距离为22coshn2022n hcos(3.1-1) 根据电磁场理论，在两种介质
4、的界面上电场E和磁场H的切向分量保持连续，具体来说 在界面处EEEEEirtr(3.1-2) 及HHHHHirtrc o sco sc o sc o s1122(3.1-3) 由非磁性介质中E和H的关系式HsE00n(3.1-4) 式中s为波矢k方向上的单位矢量，n为所讨论的介质层中的折射率。H表示为HEEnEEnirtr00110022()c o s()c o s(3.1-5) 用同样的方法在界面处得到 EEEEirt(3.1-6) 及HEEnEnirt00220033coscos(3.1-7) 式中n3为衬底的折射率。将两个界面上A、A点的电矢量进行比较，考虑到(3.1-1)式所表示的相移
5、，则有126 EEeitj (3.1-8) EEerrj (3.1-9) 利用以上两式，(3.1-6)、(3.1-7)式表示为EEeEetj rj (3.1-10) 和HEeEentj rj 0022cos(3.1-11) 从以上两式中解出Et和Er，再将结果代入(3.1-2)和 (3.1-5)式中，得到EEHjPcossin2(3.1-12) HEPjH2( sin)cos(3.1-13) 式中Pn20022c o s(3.1-14) (3.1-12)和(3.1-13) 式表明了两个界面上场量之间的线性关系，这一关系式也可以用下面的矩阵形式来表示EHjP jPEHcossinsincos22
6、(3.1-15) 或简记为EHMEH(3.1-16) 式中M称为特征矩阵，通过它将两个界面上的场联系起来了。上面所讨论的是TE 波入射的情况，其特征矩阵MjP jPcossinsincos22(3.1-17) 用同样的讨论方法也可以得出TM 波入射情况下的特征矩阵，与上式相比较， 只要把式中的P2换成qn20022cos就行了（见习题3-1）。上面对于单层膜的讨论很容易推广到多层膜的情形中去，例如在图3-2a 所示的单层膜上再镀上另一种材料形成的薄膜，就会有三个界面，由上往下数第、两个界面上的场通过特征矩阵M相联系EHMEH(3.1-18) 两边乘以M，得到EHMMEH(3.1-19) 127
7、 一般情况下，如果p是所镀介质膜的层数，每层都有特定的n和h，则第一个界面和最后一个界面上的场量通过下式相联系EHMMMEHppp()()11(3.1-20) 整个系统的特征矩阵是各个单独的22矩阵按指定次序的乘积，即MMMMmmmmp11122122(3.1-21) 这时 (3.1-20)式简化为 EHMEHpp()()11(3.1-22) 若分层介质具有一定的空间周期性就形成了周期介质膜，这将在下一节中讨论。二、单层均匀介质膜的特性研究1、单层均匀介质膜等效界面上的振幅反射率和透射率 仍假定所讨论的单层介质膜是均匀的、非磁性的， 当一单色平面波入射至膜的表面上时(图 3-3)，对于 TE
8、波来说，由 (3.1-16)和 (3.1-17)式EHmmmmEH11122122(3.1-23) 式中mm1122cos，mjP12 2sin，mjP212sin其中Pn20022c o s令Pniii00c o s( i1 2 3, , 为介质层的序号) 由(3.1-2)、(3.1-5)、(3.1-6)、(3.1-7)式 界面处EEEirHEEnP EEirir00111()cos()界面处EEtHn EP Ett00333cos128 图 3-3 电磁波通过一个均匀膜的传播将以上结果代入(3.1-23)式，得到EEP EEmmmmEP Eirirtt1111221223()(3.1-24
9、) 定义单层介质膜的振幅反射率rEEri，振幅透射率tEEti， 于是由方程(3.1-24)得到 111123rm tmP t(3.1-25a) ()1121223r Pm tmP t(3.1-25b) 解上面的联立方程，得等效膜层的振幅反射率r和透射率trmm P Pmm P mm P Pmm P()() ()()1112312122311123121223(3.1-26) tPmmPPmmP2111123121223()()(3.1-27) 以上两式所表示的r和t是针对整个单层膜来说的，图 3-4 表示了这一等效关系。r、t所描述的单层膜的反射和透射行为就好像是在单一的等效界面上发生的一样
10、。r、t的取值一般为复数。令rr ejr，tt ejt式中r为反射相变，t为透射相变， 与r、t一样它们都可以看成是在等效界面上发生的。图 3-4 单层介质膜和等效界面 对于TM波的情况，讨论的方法一样。只要将(3.1-26) 、 (3.1-27) 式中的Pi换成qniii00cos(, , )i1 2 3 就得到入射光为TM 波的条件下单层膜等效界面上的r和t。(3.1-26)和(3.1-27)式给出的是单层膜情况下的结果，它也适用于多层膜的情形，只要 将这两个式子中的m11、m12、m21、m22换成 (3.1-21)式中的矩阵元m11、m12、m21、m22129 就行了，这时的r和t表
11、示的是与多层膜等效的界面上振幅反射率和透射率。矩阵元的值由(3.1-21)式通过计及所有的膜层的作用而求得。 由菲涅耳公式(1.5-19)，对于 TE 波，在界面1 处振幅反射率r1和透射率t1为rnn nnPP PP1112211221212coscos coscos(3.1-28a) tnnnPPP111112211222coscoscos(3.1-28b) 界面 2 处的振幅反射率r2和t2的式子与此类似。单层介质膜的振幅反射率r和振幅透射率t也可以借助这两个界面处的r1、t1；r2、t2及相移()cos2022n h来表示，结果是（见习题3-2）rrr er r ejj1221 221
12、(3.1-29a) TE 模和 TM 模均能满足jjerrettt2 2121 1(3.1-29b) 2、单层均匀介质膜等效界面上的强度反射率和透射率 在等效界面上设立直角坐标系如图3-4b 所示，图中以si、sr、st表示等效界面上入射波、 反射波和透射波波矢方向上的单位矢量，在各向同性介质中它与相应光波的能流密 度矢量Si、Sr、St方向一致。由表 1-1,等效界面上入射波、反射波和透射波能流密度矢量的时间平均值Ssiiin E1 20012 SsrrrnE1 20012 20 3 012tttn ESs由sikisi nc o s11，sikrsi nc o s11，siktsi nc
13、o s33得到上述三个波的能流密度矢量沿z方向分量的时间平均值的大小为Sn EP Eizii12120012 112 cosSnEP Erzrr1 21 20012 112 cosSnEP Etztt12120032 332 cos单层均匀介质膜的强度反射率R和透射率T为130 222r EESSRirzizr(3.1-30a) 213 2123tPPEPEPSSTitzizt(3.1-30b) 容易验证， 上式所表示的结果与(1.5-24)式是相同的， 这里我们是用玻印廷矢量z分量的时间平均值来求的，实际上它与推导(1.5-24)式所用的方法在本质上是相一致的。TM波的强度反射率和透射率求法
14、与此类似，只要将(3.1-28)、(3.1-29)式中的Pi换成qniii00cos(, )i1 3 ，就得到了相应的R和T。将（ 3.1-29）式所表示的t和r代入 (3.1-30)式,就得到单层介质膜的反射率和透射率Rrrrr rr rr r212 22 1 212 22 1 222122coscos(3.1-31a) 2cos21coscos212 22 12 22 11133213rrrrtt nntPPT(3.1-31b) 容易验证RT1反射相变r和透射相变t分别是复数t和r的幅角，可通过(3.1-29)式计算出来。3、单层均匀介质膜反射、透射特性的讨论单层膜是光学薄膜中最基本的单元
15、，有必要进一步讨论它的反射和透射特性。仍然参 考图3-4(a)，复盖层、膜层及基底的折射率分别为n1、n2、n3，假定材料为非铁磁性物质(r1)。设入射光为TE 波，由 (3.1-17)式单层膜特征矩阵的矩阵元为mm1122cos，mjP12 2sin，mjP212sin式中2022n hco s，Pniii00c o s(, , )i12 3将以上参数代入(3.1-26)和(3.1-27)式，得到单层膜的振幅反射率和振幅透射率分别为rPPjP PPPPPjP PPP()cossin()cossin131322131322(3.1-32a) tPPPjP P PP21131322()cossi
16、n(3.1-32b) 当以上两式中换成时，即当h换成hh时，r和t的大小保持不变，其中hn0222cos因此，厚度上差0222n cos整数倍的那些介质膜，它们的反射率和透射率是一样的。131 现 在 考 虑 一 个 特 别 简 单 的 情 形 ， 设 光 垂 直 入 射 至 单 层 介 质 膜 的 表 面 ， 即1230，因此()202n h，Pnii00(, , )i1 2 3 。由qnii00可以看出来，这时的TE 波与TM波是不可区分的。将以上参数代入(3.1-32)式，并利用Rr2，得到Rnnn nnnnnn nnn() cossin() cossin132213222 2132213222 2(3.1-33) 这就是正入射条件下单层均匀介质膜强度反射率的表达式。图 3-5 单层介质膜的反射率随其光学厚度的变化
