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1、金融计量学张成思2第五章 非平稳金融时间序列模型5.1 确定性趋势模型5.2 随机性趋势模型5.3 去除趋势的方法5.1 确定性趋势模型所谓确定性趋势，是指模型 中含有明确的时间t变量，从而使 得某一时序变量随着时间而明确 地向上增长。图5-1 中国真实GDP美国真实GDP5.2 随机性趋势模型 5.2.1 随机趋势模型的基本定义考虑AR(1)模型： （5.8） ，其中 代表方差为 的白噪音过程。将模型写成： 。如果假设初始观测值为 ，那么通 过反复迭代可以得到：这个表达式可以看成是一种随机 常数项，由于每个随机扰动因子对 的条件均值的影响都是永久性的，所 以这样的模型经常被称为随机趋势模 型
2、。5.2.2 随机游走模型实际上，模型(5.8)的形式就是一 个随机游走过程。那么随机游走过程的 特点有哪些呢？首先，从基本定义式可 以看到，随机游走过程就是一个常数项 为0并且自回归系数为1的AR（1）模型 。进一步考察随机过程的均值和方差：根据自协方差的定义，有：进而，可以获得自相关函数的表达式：图5-2 随机游走过程与 高持久性AR（1）比较5.2.3 带有截距项的随机游走模型RWD的均值、方差:RWD的自协方差:RWD的自相关函数:图5-3 带有截距项的 随机游走过程RWD的样本自相关函数5.3 去除趋势的方法在实际应用当中，平稳时间序列 要比非平稳时间序列具有更多吸引人 的特性。另外
3、，平稳时间序列与非平 稳时间序列在某些重要特性方面差异 明显。但是，含有趋势的时间序列却永远 也不会回复到一个长期的固定水平。随 机扰动对含有趋势的时间序列的影响将 是长久的，表现出一种长期的记忆性。如果含有趋势成分的非平稳时 间序列参与到计量回归中，许多经典 的回归估计假设条件将不再满足，所 以就必须小心解释相应的统计检验和 统计推断，有的情况下会出现所谓的 “伪回归” 现象，而有的条件下需 要应用协整分析方法。一般来说，常用的去除趋势的方 法有差分法和去除趋势法，前者主要针 对随机趋势非平稳时间序列，而后者主 要针对含有确定性趋势的非平稳时间序 列。5.3.1 差分法 差分法一般用来去除含
4、有随机趋势的 非平稳时间序列。如果从AR模型的平稳性 条件来考虑，它非平稳，就是因为它的特 征方程的根含有一个单位根。所以也被称 为“单位根过程” ，或者“一阶单整过 程” ，记做I(1)，其中“I”表示单整， “(1)”表示单整的阶数。随机趋势非平稳过程可以通过差分 法变为平稳过程。如果是I(1)，则一次 差分即可实现，而对于I(2)过程，则可 以通过两次差分获得平稳过程。以随机游走过程为例，一阶差分就是 指使用原过程获得一次差分项 的表达式，其中“ ”表示差分符号。所 以： （5.22）从模型（5.22）可以看出，基 于随机游走过程的一次差分 是一 个平稳的随机时序变量，因为 等于 平稳白
5、噪音过程。图5-4 RWD及其 一次差分后序列以上处理方法很容易拓展到高阶 单整序列。例如，假设 是一个I(2) 过程，那么对其二次差分就可以获得 平稳序列，即：其中：“ ”表示二次差分符号。 依此类推，“ ”表表示三次差分符 号，而“ ”表示n次差分符号。对于ARIMA(p,1,q) 来说，虽然我们这里讨论的是一阶单整形式的ARIMA模型，但二阶或者其他高阶ARIMA模型可以运用类似的思路获得平稳的差分序列。概括地说，一个ARIMA(p,d,q)过程，经过d次差分后就可以获得对应的平稳过程。5.3.2 去除趋势法当然，如果不能确定时间趋势成分 是否仅为一次幂的形式，还可以采用更 一般的确定性
6、趋势非平稳序列的模型形 式，如： 。然后可以通过OLS回归，运用“向 下检验法”的原则或者信息准则法确定 出 的阶数，最终获得平稳序列 的估 计值即可。5.3.3 去除趋势的方法比较前面小节讨论了差分法和去除时间 趋势法，并且认识到不同的趋势非平稳 序列需要采用不同的去除趋势成分的方 法。实际上，去除含有趋势成分的非平 稳时间序列的方法还有很多滤波方法。 常见的有HP滤波、卡尔曼滤波，以及近 年来新发展起来的BK滤波和CF滤波。图5-5 去除线性时间趋势法 获得的序列去除线性时间趋势法 获得的差分序列的ACF图图5-6 差分法获得的序列差分法获得的序列的ACF图本小节开始我们还提到过其他一些常
7、用的滤波法，利用这些方法也可以获得非平稳时间序列的平稳序列成分。HP滤波就是很常用的一种。假定一个非平稳序列 可以分解为趋 势成分 和平稳成分( )，HP滤波使 用下列算法来求解趋势成分 ，即最小 化下列函数： (5.33)其中:T是样本大小， 被称为惩罚系数， 用来控制平稳成分( )的平滑程度, （ ）越大，该序列越平滑。 从模型(5.33)不难看出，当 时， 最小化模型(5.33)的结果给出的是 , 即 序列的趋势成分等于其本身。而如果 在另一极端情况 下 ，那么最小化 (5.33)的结果给出的是 。 也就是说，在 情况下，趋势的变化幅 度是恒定的，从而趋势成分就是一个线性 时间趋势，因为
8、 。注意，因为模型(5.33)中的T并不影 响函数最小化过程的实质性结果，所以 有的教材可能会使用最小化下面的表达 式来代替模型(5.33)，即：另外，既然惩罚系数 对HP滤波的 结果至关重要，在实际应用中应该如何 设定它的值呢？已有研究表明，对于不同频率的数 据，可以参考下列规则来设定 的值：实际上，这里介绍的是传统的双侧HP 滤波，在分析某些问题的过程中，可能还 会使用到所谓的单侧HP滤波。单侧HP滤波 的算法过程是利用卡尔曼滤波估计出以下 模型中的趋势成分 ，即： (5.35)其中： 和 是互不相关的白噪音序列。和 二者的方差满足下列关系： (5.36)Stock和 Watson(1999)建议q的取值原 则为：（5.37）图5-7 各种滤波给出的美国 真实GDP周期成分
