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1、前节回顾：前节回顾：研究变形体力学问题的主线是研究变形体力学问题的主线是：力力的的平衡平衡变形变形的的几何协调几何协调力与变形之关系力与变形之关系求求 约约 束束 反反 力力截截 取取 研研 究究 对对 象象受力受力 图，图， 内力内力 按正按正 向假向假 设。设。列列 平平 衡衡 方方 程程求内求内 力，力，内力内力 方程方程截面法求解内力的步骤为：截面法求解内力的步骤为：内力图：内力图：F FN N、F FQQ、 MM 图图1是材料的一种应力是材料的一种应力应变关系模型，应变关系模型，称为称为线性弹性应力线性弹性应力应变（物理）关系模型。 = =E E EAEA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压
2、变形的能力是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。N N、L L、E E、A A改变，则须分段计算。改变，则须分段计算。应力：应力： 应变：应变：轴向拉压杆的平均应力、平均应变定义为：轴向拉压杆的平均应力、平均应变定义为：轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 L L可表达为可表达为：在物理模型在物理模型 = =E E 下有：下有：24.6 4.6 一点的应力和应变一点的应力和应变( (一般讨论一般讨论) )一、一、 应力应力内力连续分布在截面上，内力连续分布在截面上，截面法确定的是内力的合力。截面法确定的是内力的合力。T T是矢量，法向分量是矢量，法向分量 称称正应力正应力；切向分量；切向分量 称
3、称剪应力剪应力。A F FO 1) 1) 定义定义：一点的一点的应力应力T T是该处内力的集度，定义为是该处内力的集度，定义为：A是围绕O点的面积微元； F作用在A上的内力。ATO03注意注意：一般一般情况下情况下， 内力非均匀分布，内力非均匀分布， 截面各点应力不同。截面各点应力不同。2) 2) 轴向拉压杆横截面上的应力轴向拉压杆横截面上的应力：截面上只有轴力，故截面上只有轴力，故应力为正应力应力为正应力 。 变形沿轴向是均匀的，故变形沿轴向是均匀的，故 在横截面上均匀分布，在横截面上均匀分布，F FN N因为 =const. 故有：4F FA A3) 3) 一点的应力状态一点的应力状态：单
4、向拉压杆横截面上只有正应力。单向拉压杆横截面上只有正应力。 故故 A A点的应力状态可用由横截面、水点的应力状态可用由横截面、水 平面截取的微小单元体上的应力描述平面截取的微小单元体上的应力描述 。是。是单向单向应力状态应力状态。 Adxdy一点的应力状态一点的应力状态用围绕该点截取的用围绕该点截取的 微小单元体上的应力来描述微小单元体上的应力来描述。单元体尺单元体尺 寸微小，各面上的应力可认为是均匀的寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。由定义有： 故可知， 一点的应力与过该点之截面的取向有关一点的应力与过该点之截面的取向有关。dx 斜截面？斜截面？5 应力面积斜面法向内力法向内力在x轴的投影
5、设已知，A点在法向与轴线夹 角之截面上应力为、，斜截面上的斜截面上的应力应力： F Fx x= = (d(dx x/sin/sin )1cos)1cos 注意式中各项是注意式中各项是力的投影分量力的投影分量。Adxdydx xy 由单位厚度微元力的平衡条件可得：+ + (d(dx x/sin/sin )1sin)1sin - - (d(dx x/tg/tg )1=0)1=0 F Fy y= = (d(dx x/sin/sin )1sin)1sin - - (d(dx x/sin/sin )1cos)1cos =0=0 coscos (dx/sin) 斜面长1 1厚6 =0=0时，时， = =
6、， =0=0， 横截面上横截面上正应力正应力最大；最大；求得求得A A点在与轴线夹角为点在与轴线夹角为 之截面上的应力为之截面上的应力为: : = = (1+cos2(1+cos2 )/2)/2； = = sin2sin2 /2/2 如：如：铸铁试样受压时，铸铁试样受压时， =45=45 斜斜 截面上的应力截面上的应力 和和 为：为： =-=- /2/2; ; =-=- /2/2铸铁抗压能力远大于抗剪或铸铁抗压能力远大于抗剪或 抗拉能力，故实验时先发生与抗拉能力，故实验时先发生与 轴线大约成轴线大约成4545 ，剪切破坏。，剪切破坏。可见：拉压杆可见：拉压杆斜截面上有正应力和剪应力斜截面上有正
7、应力和剪应力。FxBBF = =4545 时，时， = = /2/2， = = /2/2，4545 斜截面上斜截面上剪应力剪应力最大，且最大，且 maxmax= = /2/2。7对于单向拉、压杆，任对于单向拉、压杆，任 一点一点 A A的应力状态为的应力状态为：只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力， 即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。A=0=45A/2/2或=/2Az z剪应力互等定理：剪应力互等定理： 单元体单元体( (d dx x x xdy dy x1)x1)互垂截面上的剪应互垂截面上的剪应 力互等，指向相对力互等，指向相对( (同时指向或离开截同时指向或离开截 面交线面交线
8、) )。 MM = = dydyx x1 1x xd dx x- - d dx xx x1 1x xd dy y=0=0 = z z结论：结论：1) 1) 应力是矢量应力是矢量。 2) 2) 一点的应力与过该点的截面取向有关一点的应力与过该点的截面取向有关。 3) 3) 可以用微小单元体各面上的应力描述一可以用微小单元体各面上的应力描述一 点的应力状态点的应力状态。F FA A8变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。用应变表示，如拉压杆（应变用应变表示，如拉压杆（应变 = = l l/ /l l0 0），），与几何尺寸无关。与几何尺寸无关。一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而 定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。线应变线应变 、剪应变剪应变 分别与分别与 、 的作用相对应的作用相对应。二、二、 应变应变和线应变线应变 ：过过A A点沿坐标方向线段的点沿坐标方向线段的尺寸改变尺寸改变。剪应变剪应变 ：过过A A点直角点直角形状的形状的改变改变。ACCyxDBBDAdydx9
