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1、代几综合题之函数与四边形朱贵华 函数与四边形结合的主要题型有以下四种情况： 一、坐标系中求四边形的面积的题型 二、坐标系中给出相应点判断四边形形状题型 三、坐标系中在四边形存在性题型 四、坐标系中在特殊四边形的框架下的动点，平移，甚至翻折 I、坐标系中求四边形的面积的题型 在坐标系中求一般四边形面积的办法主要有补形法 和分割法 ，我们之前单独给一个四边形 补形的时候经常是补成一个长方形，然后再去减掉周围的三角形或梯形面积，但是在这种综 合题中，如果用这种办法，会使得图形更加复杂难做，因此我们更多的是利用图形中已有的 大块图形面积去减掉多余部分的图形面积，最终得到答案，而分割法的使用最好是在有一
2、条 边在坐标轴或者平行坐标轴的情况下使用。对于平行四边形与矩形，在有一条边在坐标轴或 者平行坐标轴的时候使用底高 ，没有的情况下可以先求他的一半（即一个三角形的面积） 再2， 对于菱形与正方形还可用 对角线乘积除以2 的办法解决，对于梯形的话基本上就是 （上 底+下底）高 2 的办法 。例 1(2013 年石景山一模 ) 如图，把两个全等的RtAOB和 Rt ECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上已知点D (4 ，2) ，过A、D两点的直线交y轴于点F若ECD沿DA方向以每秒2个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t（秒），记ECD在平移过程中某时刻
3、为E C D，E D与AB交于点M，与y轴交于点N，C D与AB交于点Q，与y轴交于点P( 注：平移过程中，点D始终在线段DA上，且不与点A重合 ). （ 1）求直线AD的函数解析式；（ 2） 试探究在ECD平移过程中， 四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t的取值；若不存在，请说明理由；分析：四边形MNPQ 不是一个特殊四边形，我们发现NQ 在坐标轴上，我们可以考虑用分割法，但是再仔细想想，用分割法的话得求出M、N、Q、P四点坐标，显得有点麻烦，所以应该考虑大面积减小面积的办法，我们发现所求四边形既在OAB 中，也在 E C D 中，如果找 OAB 差不多也得求那么多
4、点的坐标，也挺麻烦，而在E C D ，容易发现 MPD EJD，相似比等于 JDPD,而JDPD=ADAD= 22222t=1-21t，而且梯形E C QN 中，高 C Q=C D -QD ，NQ= 21QD ，而 QD =22FD ， FD =t 224，所以 QD =4-t，C Q=t，NQ=2-21t。易求的SEJD=3，SMPD =3（ 1-21t）2，S梯形E C QN=21（ 4- 21t）t 所以 S=4-SMPD-S梯形E C QN-,剩下的问题就迎刃而解了。例 2如图，已知抛物线yax2bx3（a0）与x轴交于点A(1 ，0) 和点B( 3，0) ，与y轴交于点C （1）求抛
5、物线的解析式； （2）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求O D A y C x B(E)F J ECDN MQ P 此时E点的坐标分析：这题乍一看， 我们可能会直接过E 点作 x 轴的垂涎， 将四边形分成一个梯形和一个直角三角形去求，但是那样会产生问题，求面积的时候会出现xy 的情况，继而转变成x 的立方，这个我们是没有求过的，但是我们通过分析，连接 BC 后，四边形分成了BOC 和 EBC ，而 BOC 的面积是固定的，所以EBC面积最大的时候，四边形 EBOC 的面积就是最大， 而求 EBC 最大面积可以根据我们之前学三角形求面积的办法
6、解决。例 3如图 1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（ 2，4） ；矩形ABCD的 顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD 2，AB3（1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）将矩形ABCD以每秒 1 个单位长度的速度从图1 所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动 点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（ 0t3） ，直线AB与该 抛物线的交点为N（如图 2 所示） 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若 不存在，请说明理由分析：这道题的四边形PNCD 显然是个梯形
7、，底CD 不变，高 BC 也不变，变的只是PN 的长度，而易知P 的坐标为 (t,t),N的坐标为 (t,-t2+4t), 而且在 (0 t3)的范围内N 总是在P 的上方，所以NP=-t2+3t，面积也就很容易求了。例 4 已知二次函数yax2bxc（a0）的图象经过点A（ 1，0） ，B（2，0） ，C（0，2） ，直线xm（m2）与x轴交于点D（1）求二次函数的解析式； （2）在直线xm（m2）上有一点E（点E在第四象限） ，使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示） ； （3）在（ 2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形
8、ABEF为平行四边形？若存在，请求出 m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由E 分析：像本题求平行四边形的面积就可以直接用底乘高的办法解决。例 5如图，对称轴为直线72x的抛物线经过点A（6，0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2） 设点 E （x，y） 是抛物线上一动点， 且位于第四象限， 四边形 OEAF是以 OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积 S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 分析：本题求平行四边形OEAF 的面积的办法就可以先求OEA的面积，再 2 练习 1如图，已知抛物线ya(x1)233(a 0)经过点A( 2，0
9、)，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC （1）求该抛物线的解析式； （2）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1 个长度单位和2 个长度单位 的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为 t（s） ，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长练习 2已知：t1，t2是方程t22t240，的两个实数根，且t1t2，抛物线y 32x2bxc的图象经过点A（t1，0） ，B（0，t2） （1）求这个抛物线的解析式； （2）设点P
10、（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形， 求OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；II 、坐标系中给出相应点判断四边形形状题型 在代几综合题中判断四边形形状，在初中来说，主要判断是不是平行四边形、矩形、菱 形和正方形，判断梯形的情况非常的少。而我们知道平行四边形有5 个判定，矩形和菱形各 有 3 个判定，判断正方形的办法则是先判断矩形再判断为菱形或者先判断菱形再判断矩形； 但是在坐标系中，比较少见的是给角，所以在判断平行四边形的几乎不用对角相等来证明， 而矩形、菱形和正方形的判定几乎都是先判定为平行四边形后再加特殊条件得
11、到，因此我们 在做这种题的时候思维也该有个先后顺序。例 6如图，在直角坐标系xOy 中，点 P为函数 y=241x在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(0,1)，直线 l 过 B(0,-1)且与 x 轴平行，过P作 y 轴的平行线分别交x 轴， l 于 C,Q，连结 AQ交 x 轴于H，直线 PH交 y 轴于 R （1）求证： H点为线段AQ的中点；（ 2 ） 求 证 ： 四 边 形APQR 为 平 行 四 边 形 ； 平 行 四 边 形APQR 为 菱 形 ；分析：判断四边形APQR 为平行四边形，根据题意我们很容易知道ARPQ，如果能证到AR=PQ ，则 很容易证明出四边形APQR
12、为平行四边形， 根据第一问得到的结论AH=AQ ，再联系 AR 与 PQ，我们很容 易就锁定 AHR 与 QHP，显而易见，平行加对顶角这两个三角形的三组对应角都相等，又有AH=HQ ， 所以 AHR QHP，所以 AR=PQ ，所以四边形APQR 为平行四边形。由已经得到平行四边形APQR ，因此我们只要再得到一组邻边相等或者对角线互相垂直就可以了，由于P不是固定点， 只能假设P （m,2 41m）, 那么 PQ=2 41m+1，AP=22) 141(mm=2 41m+1，所以 AP=PQ ，所以平行四边形APQR 是菱形。 这一问，我们还可以通过证明PRAQ 的办法证，其实从第一问的证明中
13、，我们证到AOH QCH ，所以OH=CH=m 21，OR=PC=2 41m，Rt AOH 与 RtHOR ，有mOAOHOHOR21，所以RtAOH RtHOR ，所以 OHR= OAH ，所以 AHR= OAH+ OHA=90 ，从而平行四边形APQR 是菱形。例 7如图， RtABC的顶点坐标分别为A（0，3 ） ，B（ 21， 23） ，C（1，0） ，ABC90，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（ 0， 33） ，以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B（1）求该抛物线的解析式；（2）将ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B，求证：四边形AOCB是矩形 . 分 析 ： 由 于 已 经
14、知 道 了 AOC=90 ， 所 以 只 需 证 明 四 边 形AOCB 为 平 行 四 边 形 即 可 ， 易 算 的AB =AB=1=OC,B C=BC=3 =OA,所以四边形AOCB 为平行四边形，所以四边形AOCB 是矩形 . 例 8如图 1，平移抛物线F1：yx2后得到抛物线F2已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2， 0） ，且对称轴与抛物线F1交于点B，设抛物线F2的顶点为N （ 1）探究四边形ABMN的形状及面积（直接写出结论）；（ 2）若将已知条件中的“抛物线F1：yx2”改为“抛物线F1：yax2” （如图 2） ， “点A（2，0） ”改为“点A（m，0） ” ，
15、其它条件不变，探究四边形ABMN的形状及其面积，并说明理由；（ 3）若将已知条件中的“抛物线F1：yx2”改为“抛物线F1：yax2c” （如图 3） ， “点A（2， 0） ”改为“点A（m，c） ”其它条件不变，求直线AB与 y 轴的交点C的坐标（直接写出结论）分析：本题判断四边形ABMN 为正方形的办法，先得到PA=PM,PB=PN，再有 NB=MA,MA BN所以四边形ABMN为正方形。练习 3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线28 2 5yxbxc经过点 A （32，0）和点 B （1，2 2） ，与 x 轴的另一个交点为C，（1）求抛物线的表达式；（2）点 D在对称轴的右侧，x 轴上方的抛物线上，且BDADAC，求点 D的坐标；（3）在（ 2）的条件下，连接BD ，交抛物线对称轴于点E ，连接 AE 判断四边形OAEB 的形状，并说明理由；点 F是 OB的中点，点M是直线 BD上的一个动点，且点M与点 B不重合，当13BMFMFO，请直接写出线段BM的长III 、坐标系中四边形存在性的题型这种题型的问题经常是在某函数图像上是否存在某一点P，使得含P点的一个四边形是平行四边形、矩形、菱形或者正方形，也有可能是特殊的梯形，这种题型的思路应该是先找出所有这样的P点，使他满足含 P点的四边形是你所需要的四边形，然后再利用这些点在指定的函数图像上确定要找的P点。对于
