正交试验设计的方差分析

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1、正交试验设计的方差分析正交试验设计的方差分析一一. .方差分析的意义方差分析的意义前面我们介绍了正交设计方案及其结果的直前面我们介绍了正交设计方案及其结果的直观分析，该方法简单明了，通俗易懂，计算工作观分析，该方法简单明了，通俗易懂，计算工作 量少，便于普及和推广。但直观分析方法不能把量少，便于普及和推广。但直观分析方法不能把 实验中由于实验条件的改变而引起的数据波动同实验中由于实验条件的改变而引起的数据波动同 实验误差引起的数据波动区分开来，也就是说，实验误差引起的数据波动区分开来，也就是说， 不能区分因素各水平所对应的实验结果间的差异不能区分因素各水平所对应的实验结果间的差异 ，究竟是由于

2、因素水平不同引起的，还是由于实，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于实 验误差引起的。验误差引起的。为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析方法对实验结果进行计算分析。方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析所谓方差分析就是将就是将 因素水平因素水平( (或交互作用或交互作用) )的变化引起的实验结果间的差的变化引起的实验结果间的差异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。的一种数学方法。方差分析的中心要点是方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分：把实验数据总的波动分解成两部分

3、，一部分反映因素水平变化引起的波动，解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动， 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和差平方和(S(S总总) )分解为因素的偏差平方和分解为因素的偏差平方和(S(SA A、S SB B、S SC C)与误差的偏差平方和与误差的偏差平方和(S(Se e) )，并计算它们的平均偏，并计算它们的平均偏 差平方和差平方和( (也称均方和，或均方也称均方和，或均方) )，然后进行检验，最，然后进行检验，最后得出方差分析表。后得出方差分析表。二二. .方差分析中的一些基本概念方差分析中的一些基本概念1. 1

4、.偏差平方和偏差平方和方差分析的关键是对偏差平方和的分解，因此，方差分析的关键是对偏差平方和的分解，因此，充分理解这一概念是至关重要的。充分理解这一概念是至关重要的。所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数(y(y1 1, y, y2 2, , y y3 3yyn n) )与它们的算术平均数与它们的算术平均数y y之差的平方和。用符号之差的平方和。用符号S S来表示。即：来表示。即：则为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：若令：则偏差平方和偏差平方和(S)(S)反映了该组数据的分散或集中程度。反映了该组数据的分散

5、或集中程度。 显然，显然，S S越大，该组数据越分散；反之，越大，该组数据越分散；反之，S S越小，说明该越小，说明该组数据越集中。组数据越集中。 2. 2.平均偏差平方和与自由度平均偏差平方和与自由度为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或 集中的程度，通常采用平均偏差平方和集中的程度，通常采用平均偏差平方和( (简称均方和简称均方和) )平平 均偏差平方和的计算方法是：将均偏差平方和的计算方法是：将n n个数个数(y(y1 1, y, y2 2, y, y3 3, y, yn n) )的偏差平方和的偏差平方和 除以平方项的个数减除以平

6、方项的个数减1 1，即除以即除以(n-1)(n-1)，就得到平均偏差平方和。，就得到平均偏差平方和。为什么不除以为什么不除以n n而要除以而要除以(n-1)(n-1)呢？这是因为呢？这是因为n n个个 数数(y(y1 1, y, y2 2, y, y3 3, y, yn n) )之间并非彼此毫无关系，它们满之间并非彼此毫无关系，它们满 足的关系是：足的关系是：即n个数之和的均值为一定值，因此，n个数中 只有(n-1)(n-1)个个可“自由”变动，所以，求平均偏差平方 和时除以(n-1)(n-1)，数学上将这个，数学上将这个(n-1)(n-1)称为称为S S的自由度的自由度。当实验所测得的当实验

7、所测得的n个数(y(y1 1, y, y2 2, y, y3 3, y, yn n) )数值较数值较 大时，为了简化计算，可将每一个原始数据大时，为了简化计算，可将每一个原始数据y yi i(i=1, (i=1, 2, 32, 3n)n)都减去同一个常数都减去同一个常数C C，这并不影响偏差平，这并不影响偏差平 方和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。方和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。上述推论可通过以下简单换算予以证明。上述推论可通过以下简单换算予以证明。 若令若令X Xi i=y=yi i-C (i=1, 2, n)-C (i=1, 2, n)则于是3. F3. F比比与与F

8、F分布表分布表 (1) F(1) F比比F F比比是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误 差的平均偏差平方和的比值。即：差的平均偏差平方和的比值。即：(2) F F分布表及其查阅方法分布表及其查阅方法为了判断为了判断F F比比值的大小所表明的物理意义值的大小所表明的物理意义( (即即F F比比值多大值多大 时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的 改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的 差异主要是由实验误差所引起的差异主要是由实验误差所引起的) )，这

9、就需要有一个，这就需要有一个 标准来衡量标准来衡量F F比比值，此标准就是根据统计数学原理编值，此标准就是根据统计数学原理编 制的制的F F分布表，分布表，F F分布表列出了各种自由度情况下分布表列出了各种自由度情况下F F比比 的临界值。的临界值。在在F F分布表上横行分布表上横行(n(n1 1：1, 2, 3)1, 2, 3)代表代表F F比比中分子的自中分子的自 由度；竖行由度；竖行(n(n2 2：1, 2, 3)1, 2, 3)代表代表F F比比中分母的自由度；表中分母的自由度；表 中的数值即各种自由度情况下中的数值即各种自由度情况下F F比比的临界值。的临界值。例如，某因素例如，某因

10、素A A的偏差平方和的自由度的偏差平方和的自由度f fA A=1=1，误差，误差 (e)(e)的偏差平方和的自由度的偏差平方和的自由度f fe e=8=8，查得，查得F F0.10.1(1,8)=3.64(1,8)=3.64，这，这 里里0.10.1是信度。是信度。在判断时在判断时( (如判断因素如判断因素A A的水平的改变对实验结果的水平的改变对实验结果 是否有显著影响是否有显著影响) )，信度，信度a a是指我们对做出的判断有多大是指我们对做出的判断有多大 的把握，若的把握，若a=5%a=5%，那就是指当，那就是指当F FA AFF0.050.05(f (fA A, f, fe e ) )

11、时，大概时，大概 有有95%95%的把握判断因素的把握判断因素A A的水平改变对实验结果有显著的水平改变对实验结果有显著 影响。对于不同的信度影响。对于不同的信度a a，有不同的，有不同的F F分布表，常用的分布表，常用的 有有a=1%a=1%， a=5%a=5%， a=10%a=10%等。根据自由度的大小，可等。根据自由度的大小，可 在各种信度的在各种信度的F F表上查得表上查得F F比比的临界值，分别记作的临界值，分别记作F F0.010.01(n(n1 1, n, n2 2 ) )， F F0.050.05(n(n1 1, n, n2 2 ) )， F F0. 10 0. 10 (n(n

12、1 1, n, n2 2 ) )等。等。4. 4.因素的显著性判断因素的显著性判断设因素设因素A A的的F F比比为为F FA A：当当F FA AF F0. 01 0. 01 (n(n1 1, n, n2 2 ) )时，说明该因素水平的改变时，说明该因素水平的改变对实验结果有很显著的影响，记作对实验结果有很显著的影响，记作*。当当F FA AF F0. 05 0. 05 (n(n1 1, n, n2 2 ) )时，说明该因素水平的改变时，说明该因素水平的改变对实验结果有显著的影响，记作对实验结果有显著的影响，记作* *。当当F FA AF F0. 10 0. 10 (n(n1 1, n, n

13、2 2 ) )时，说明该因素水平的改变时，说明该因素水平的改变对实验结果有一定的影响，记作对实验结果有一定的影响，记作O O。三三. .正交试验设计的方差分析正交试验设计的方差分析现以实验室制取现以实验室制取H H2 2为例，来说明正交设计的方为例，来说明正交设计的方 差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平 如表如表1 1和表和表2 2所示。所示。因素 水平A wH2SO4 (%)B mCuSO45H2O(g)C mZn (g) 一200.44二250.55三300.66表1. 因素水平表表2. 2.实验方案及实验结果的直观分析实验方案及实验结

14、果的直观分析列号 实验号A wH2SO4 (%)B mCuSO45H2O(g)C mZn (g)空白列10min内H2的 产率1111232.622212140.403313341.074123134.975221336.536322245.757132336.628233239.199331144.53列号 实验号A wH2SO4 (%)B mCuSO45H2O(g)C mZn (g)空白列10min内H2的 产率K1104.21114.09122.77119.9最佳实验条 件是A3B3C1 K2116.12117.25115.23117.56K3131.35120.34113.68114.

15、22k134.7838.0340.9239.96k238.7039.0838.4139.18k343.7840.1137.8938.07R9.052.083.031.89上述正交试验设计所获得的数据，从直观分析的角度上述正交试验设计所获得的数据，从直观分析的角度 来看，提供给我们如下有用的信息：来看，提供给我们如下有用的信息： 第一：从极差值的大小可以判断各个因素对实验指标第一：从极差值的大小可以判断各个因素对实验指标 影响的主次关系，即：影响的主次关系，即：主主-次次AAw wH2SO4H2SO4 C Cm mZnZn B Bm mCuSO45H2OCuSO45H2O 但是，极差值仅仅反映了各因素影响实验指标的主次但是，极差值仅仅反映了各因素影响实验指标的主次 关系，它不能告诉我们各个因素对实验指标影响的程关系，它不能告诉我们各个因素对实验指标影响的程 度。也就是说，它既不能指明这些因素中哪个是影响度。也就是说，它既不能指明这些因素中哪个是影响 实验指标的关键因素，也不能提供一个标准，用来考实验指标的关键因素，也不能提供一个标准，用来考 察、判断各个因素的作用是否显著。察、判断各个因素的作用是否显著。第二：就因素第二