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1、四川交通职业技术学院水文基础第四节 水文统计基本知识 一、随机变量1、必然事件： 2、不可能事件： 3、随机事件： 4、随机变量： 5、总体： 6、样本 ：中国矿业大学建筑工程学院一、随机变量； 二、累积频率和重现期；三、选样方法；四、设计洪水频率与设计流量；五、频率分布及其特征7、机率：机率又称为概率，是指随机系列的总体中， 某一事件在客观上出现的可能性大小的数值。常以 表示。 8、频率 ：频率是指若干次试验中，某一事件A出现 的次数与试验的总次数之比值 。中国矿业大学建筑工程学院二、累积频率和重现期1. 累积频率等量和超量值的累计频数）与总观测次数之比 称为累积频率，一般简称为频率 ，常用
2、 表示 。累积频率计算的古典公式为：在水文计算中一般不采用古典公式。在我国 广泛采用维泊尔公式，又称数学期望公式： 中国矿业大学建筑工程学院2. 重现期 重现期指等于和大于某频率的洪水平均多少年 可能出现一次，简称多少年一遇，常用 表示。 在水文计算时，常用到重现期来表示各种水文 现象发生的可能性。 对于洪水频率 ：对于枯水频率 ：中国矿业大学建筑工程学院三、选样方法由总本中选取样本叫抽样或选样。对设计洪峰 流量或水位，可有以下两种选样方法： 1.年最大值法即每年选取一个瞬时最大值组成样本系列。此 法独立性好，但要求有长期的实测记录，有时难以 满足。由此所得的累积频率为年频率，其重现期单 位为
3、年， 2.超大值法此法将n年实测洪水位或洪峰流量按大到小排列 ，并从大到小顺序取 个实测系列组成样本。一般 取 。 中国矿业大学建筑工程学院四、设计洪水频率与设计流量目前，桥涵工程均采用一定频率作为设计标准，称为设计洪水频率。对于公路桥涵工程，采用交通部2004年发布的公路桥涵设计通用规范（JTG D602004）中规定的设计洪水频率。相应于设计洪水频率的洪峰流量，就是桥涵工程的设计流量。水文统计法中，就是利用累积频率曲线推求相应于设计洪水频率的流量，作为桥涵的设计流量。 中国矿业大学建筑工程学院五、频率分布及其特征在一个随机变量系列中，每一个随机变量的取值，都对应着一定的机率，不同变量对应的
4、机率变化，称为机率分布。 水文中通常是利用已有的实测水文资料组成一个样本（随机变量系列）推求变量的频率分布，来近似地代替机率分布。 中国矿业大学建筑工程学院中国矿业大学建筑工程学院流量与频率关 系的直方图流量与累积频 率关系的折线 图中国矿业大学建筑工程学院分布曲线与密度曲线的关系第五节 经验频率曲线的绘制一、经验频率曲线 ；二、经验频率曲线的绘制步骤中国矿业大学建筑工程学院一、经验频率曲线在水文计算中，一般通过频率曲线来表示 水文要素与其对应的频率之间的关系，来确定 某指定频率的水文要素特定值。将实测水文资 料作为随机变量，按从大到小的顺序排列，用 频率计算公式计算出各随机变量的累积频率，
5、以随机变量为纵坐标，累积频率为横坐标，在 坐标格纸上点出经验频率点，再按点群趋势， 并注意侧重比较可靠的点，目估勾绘出一条光 滑的曲线，这条曲线称为经验频率曲线。中国矿业大学建筑工程学院普通格纸海森机率格纸中国矿业大学建筑工程学院经验频率曲线二、经验频率曲线的绘制步骤（1）将搜集到的实测水文资料按大小递减的顺序排列，计算资料的总项数及各变量的序号。 （2）利用公式计算各实测值的经验频率。（3）以各实测值为纵坐标，以累积频率为横坐标，将各实测值点据点绘于坐标纸上。中国矿业大学建筑工程学院（4）通过点群分布中心，目估联成一条光滑 曲线，即得经验累积频率曲线或称经验频率 曲线。可在经验频率曲线上用内
6、插法或外延法 推算相应于设计洪水频率的流量（水位） 设计流量（设计水位）。如果求小频率的设计流量或设计水位 时由于外延任意性导致误差较大。 中国矿业大学建筑工程学院第六节 理论频率曲线的绘制一、皮尔逊型曲线方程及皮三型曲线； 二、理论频率曲线的三个参数三、三个统计参数对理论频率曲线的影响； 四、皮尔逊型曲线的应用五、现行频率分析方法； 六、抽样误差七、资料中特大值（特大洪水）的处理； 八、历史洪峰流量重现期的确定方法中国矿业大学建筑工程学院为减少经验频率曲线外延的任意性，人们 试图从数理统计理论中的某些曲线线形（对应相 应的数学方程式）中，选择比较符合水文现象规 律者来表示所需的经验曲线，使曲
7、线的绘制与外 延具有一定的数学依据，这种用一定数学方程式 表示的频率曲线，称为理论频率曲线。实际计算 中，皮尔逊型（P）曲线作为总体的理论频 率曲线。中国矿业大学建筑工程学院一、皮尔逊型曲线方程及皮三型 曲线中国矿业大学建筑工程学院二、理论频率曲线的三个参数1、均值 均值是系列中所有随机变量的算术平均值。 中国矿业大学建筑工程学院2、变差系数 CV变差系数是反映随机变量系列对其均值离散程度的 参数，表明系列分布对均值是比较分散还是比较集中。 对总体对样本中国矿业大学建筑工程学院3、偏差系数CS 偏差系数是反映随机变量系列中各随机变量对 其均值对称性的参数，它表明系列分布对均值是 对称的还是不对
8、称的，是正偏态还是负偏态，反 映频率分布对均值的偏斜程度 。对总体 对样本 中国矿业大学建筑工程学院三、三个统计参数对理论频率曲线的影响中国矿业大学建筑工程学院四、皮尔逊型曲线的应用将P型曲线的方程式进行一定的积分计 算，得频率曲线纵坐标值的计算公式，即频率 曲线的方程式（分布函数）：对于年最大流量系列： 可见，理论频率曲线的绘制，主要是三个统 计参数的确定。 中国矿业大学建筑工程学院五、现行频率分析方法频率分析方法实际上是确定合适的理论频率 曲线的三个统计参数。现行的频率分析方法有两 种，即矩法和适线法。1、矩法：即由实测资料系列按统计参数计算公式计算出三 个统计参数，然后按公式（频率曲线的
9、方程式）算 得设计流量或水位。这种方法要求系列长，即样本 容量大，否则易受系列中特大值和次大值的影响， 使矩法的计算误差偏大，因统计参数本身存在误差 ，尤其是CS值，若系列不够长，误差更大，则结果 更不可靠。因此一般少用此法。 中国矿业大学建筑工程学院2、适线法：适线法是由矩法与经验频率点据相结合选配合适 的理论频率曲线的方法。一般通过试算，求与经验 频率点据吻合较好的合适的理论频率曲线的统计参 数，再根据这一合适的理论频率曲线确定设计值。 这种方法目前用得最多。 常用的有求矩适线法和三 点适线法 两种。中国矿业大学建筑工程学院（1）求矩适线法求矩适线法是利用矩法公式计算出均值和离差系数值，并
10、假定 值，作为三个统计参数的初试值，一般通过试算，适当调整 值，求与经验频率点据吻合较好的合适的理论频率曲线的三个统计参数，再根据这一合适的理论频率曲线确定设计值 或 ，这种方法称为求矩适线法。根据我国经验， 值一般可在 的范围内假定一个数值。 中国矿业大学建筑工程学院2、三点适线法在经验频率曲线上任选三个点，利用该三点处的流量值和相应的频率，根据一定的公式推求三个统计参数的初试值，再通过适线确定三个统计参数的采用值，称为三点适线法。相对于求矩适线法，三点适线法推算统计参数的计算量大大减小，适用于 值比较小的情况。中国矿业大学建筑工程学院六、抽样误差样本与总体间的误差，称为抽样误差，这种 误差
11、总是存在的。 抽样误差的作用一般有两种：一种是为保证工程设计的安全，将误差作为一种安全范围 考虑；另一种是检验所研究的水文特征值是否 超出给定的精度范围以作评价。实际工作中， 抽样误差值还可以在选配理论曲线时作修正统 计参数的参考值 。中国矿业大学建筑工程学院七、资料中特大值（特大洪水）的处理特大洪水的标准，目前尚无明确规定，一般是 指在数值上较资料中其他实测值大许多的洪峰流量 或水位。特大洪水来自水文站实测资料、历史洪水 调查和历史文献考证三个方面。在桥位设计中，设计洪水的推算多采用数理统 计法。但由于一般河流的系列不长，根据短期系列 （如20-30）年来推求百年一遇或千年一遇的洪水 势产生
12、很大误差。实践表明，在频率分析中考虑特 大洪水会增大系列的样本容量而使其更具有代表性 。同时，由于系列中考虑特大洪水可增加频率曲线 前端点据，从而更好地控制适线，使所推求出的稀 遇洪水更有说理性。中国矿业大学建筑工程学院中国矿业大学建筑工程学院含特大洪水系列示意图 特大洪水的经验频率 （M=1，2，,a1+a2） M历史特大洪水流量或实测系列中特大洪水 流量在调查期内的由大到小的排序序号。（一）含特大洪水的经验频率的计算 中国矿业大学建筑工程学院中国矿业大学建筑工程学院实测洪水流量的经验频率估算公式（m=a2+1,a2+2,na2） 或（二）不连续系列的统计参数计算方法1、均值2、离差系数 中
13、国矿业大学建筑工程学院3、偏差系数偏差系数的确定与无特大值洪水系列相同 ，根据经验先选定 的 比值， 点绘理论频率曲线，与实测流量经验频率点 据相比较，如吻合程度不理想，可调整 的值，使二者吻合较好 。 中国矿业大学建筑工程学院八、历史洪峰流量重现期的确定方法 1、在查考其N1年内，所得历史洪峰流量Qi为最 大时，则重现期 中国矿业大学建筑工程学院2、在查考期 年内，已有 个洪峰流量大于所查得的历 史洪峰流量 时，中国矿业大学建筑工程学院3、若查考期 内有 次历史洪水与本 次所查得流量 接近但又无法判断它们 的大小时，则 的排位可能为 区间内，取其平均值计算 中国矿业大学建筑工程学院4、若在
14、年内有几个考查期 ， 等，且 ，得历史洪峰流量为 ， ，但不能确认是否为N1年内最大或排二，则可按各考查期作为重现期 中国矿业大学建筑工程学院第七节 相关分析 中国矿业大学建筑工程学院一、相关关系示意图； 二、直线相关的回归方程式 三、相关系数 四、相关分析的误差自然界中许多现象并不是孤立的，它们之间往 往具有一定的关系。如降雨与径流、同一断的水位与 流量、一条河流上下游水文站的流量等现象之间，都 存在一定的关系。在数理统计中把变量之间数量关系称为相关关 系，对这种关系的分析，称为相关分析。中国矿业大学建筑工程学院一、相关关系示意图中国矿业大学建筑工程学院二、直线相关的回归方程式倚 的直线回归
15、方程式中国矿业大学建筑工程学院倚 的回归方程中国矿业大学建筑工程学院三、相关系数在数理统计法中，一般采用相关系数来描述和 判别两变量之间的相关程度。相关系数的绝对值 越接近于1，相关程度越高 。中国矿业大学建筑工程学院直线回归方程式也可写成 中国矿业大学建筑工程学院四、相关分析的误差 在统计相关中，两变量之间不是函数关系，回归 线只是实用点据的一条最佳配合线，因此存在一定 的误差。对于直线相关，直线与实际点据之间存在 一定的误差，称为回归线（或回归方程）的误差 。 相关系数也是由样本算得的，因此也必然存在抽样 误差 。水文计算中，一般取0.8且r，表示直线相关 程度密切，两系列作相关分析的资料代表性较强， 计算结果较精确。当0.6时，则认为相关不成立 中国矿业大学建筑工程学院回总目录
