向量自回归(VAR)模型

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1、 金融计量学 张成思2第8章 向量自回归(VAR)模型8.1 向量自回归模型介绍 8.2 VAR模型的估计与相关检验8.3 格兰杰因果关系8.4 向量自回归模型与脉冲相应分析8.5 VAR模型与方差分解8.1 向量自回归模型介绍 8.1.1 VAR模型的基本概念8.1.2 VAR模型的平稳性条件为了深入地理解VAR模型的平稳 性条件，为了考虑含有2个变量的简 单VAR（1）模型：在上面给出的例子中，很明显第一个 等式的自回归系数是1( )，但是整个 VAR(1)系统是平稳的！所以，整个VAR模 型系统的平稳与否，千万不能单凭某一个 等式中的自回归系数判断，而是要考虑整 个系统的平稳性条件。这是

2、因为，在只考 虑单个等式中的某个自回归系数时，却忽 略了 和 之间的互动关系，整个VAR模 型是一个互动的动态系统！8.1.3 VAR(p)模型与VAR(1)的转化8.1.4 向量自协方差和向量自相关函数用自协方差除以方差矩阵对应的对角线元素，就可以获得向量自相关函数VACF。8.1.5 VAR模型与VMA模型的转化VMA过程，就是用向量形式表示的移 动平均过程，在这样的移动平均过程中， 随机扰动项以向量白噪音的形式出现。所 以，一个VMA(q)过程的定义为：其中， 表示常数向量， 表示系数矩阵， 仍然表示向量白噪音。1）VAR(1)模型的转化2）VAR(p) 模型的转化关于VMA ，以下几点

3、需要注意:第一，因为矩阵F是由VAR模型中的 系数组成的，所以， 是这些系数的非 线性函数。第二，在VMA模型中，方程右侧只有 向量白噪音过程（和均值 ）出现。这可 以理解为，当滞后项 经过反复迭代之 后都从VAR(p)中被替换掉了。8.2 VAR模型的估计与相关检验8.2 VAR模型的估计与相关检验 8.2.1 VAR模型的估计方法虽然VAR模型系统比一维模型看上去 复杂得多，但是用来估计VAR的方法却并 不一定很繁难。常见的估计方法包括最 大似然估计（Maximum Likelihood Estimator，MLE）和常见的最小二乘估 计（OLS）。在特定条件下，MLE与OLS估 计获得的

4、系数是完全相同的。估计方法（8.45）（2）OLS估计如果熟悉OLS估计的系数矩阵表达式， 很容易看出，模型(8.45)就等于OLS估计 的系数矩阵。将 的第j行明确地写出来 ，则为： （8.46）可以看出，模型(8.46)对应的正是 利用OLS方法， 对 进行回归得到的系 数估计值。8.2.2 VAR模型的设定 1).使用平稳变量还是非平稳变量Sims, Stock, 和 Watson (1990) 提出，非平稳序列仍然可以放在VAR模型 中，通过估计结果分析经济、金融含义 。但是，如果利用VAR模型分析实 际问题时，使用非平稳序列变量，却 会带来统计推断方面的麻烦，因为标 准的统计检验和统

5、计推断要求分析的 所有序列必须都是平稳序列。作为指导性的原则，如果要分析不同 变量之间可能存在的长期均衡关系，则可 以直接选用非平稳序列；而如果分析的是 短期的互动关系，则选用平稳序列，对于 涉及到的非平稳序列，必须先进行差分或 去除趋势使其转化成对应的平稳序列，然 后包含在VAR模型中进行进一步分析。2).VAR模型中的变量选择VAR模型中选择哪些变量来进行分 析，一般来说没有确定性地严格规定。 变量的选择需要根据经济、金融理论， 同时还需要考虑手中的样本大小。3).VAR模型中滞后期的选择 b)似然比率检验法，即Likelihood Ratio (LR)检验简单地说，LR检验法就是比较不同

6、滞 后期数对应的似然函数值。具体地说，考虑VAR 与VAR ，并 且 。这样，分别估计对应的两个VAR 系统，获得相应的 和 。LR检验统计量 定义为：实际应用中，首先需要给定一个最 大的滞后期数，然后循环运用LR检验来 判断最优滞后期数。正因为如此，有些 计量软件的输出结果会显示 “sequential LR test”（循环LR检验 ）的字样，实际上就是循环地应用了以 上介绍的LR检验过程。 最大滞后期数的设定具有一定的 主观性。但是，通常可以根据分析的数 据的频率来确定。例如，对于月度数据，可以考虑 12、18或者24期为最大滞后期数；对于 季度数据，一般可以先给定一个最大的 4或8期滞

7、后期；对于年度数据，可以考 虑2、3或者4为最大滞后期数。Final Prediction Error (FPE)Hannan-Quinn (HQ)很多情况下，不同的准则或检验统 计量选择的最优滞后期数可能会不同。 在这种情况下，我们可以根据“多数原 则”，即超过半数以上的可用判断准则 指向的那个滞后期数，很可能就是一个 最优的选择。如果利用这个原则仍然无法判断， 则可以对不同滞后期的VAR模型进行回 归估计，然后考查结果是否对滞后期 很敏感，不同滞后期对分析的问题的 结论是否影响很大。这样的过程实际 上就是所谓的稳健性检验过程。表8-2 EViews VAR模型 滞后期数的判断结果8.3 格

8、兰杰因果关系从计量经济学发展的历史来看，格 兰杰因果关系的概念要早于VAR模型。格兰杰因果关系检验经常被解释为 在VAR模型中，某个变量是否可以用来提 高对其他相关变量的预测能力。所以， “格兰杰因果关系”的实质是一种“预 测”关系，而并非真正汉语意义上的“ 因果关系”。如果原假设成立，则有：在VAR的相关内容中，与格兰杰因 果关系一个相关的概念就是所谓的 block exogeneity检验，翻译过来可以 称为“区块外生性”或“一揽子”外生 性检验。在选择VAR模型中是否要包含 额外的变量时，经常使用block exogeneity检验。 表8-3 格兰杰因果关系 LR检验结果表8-4格兰杰

9、因果关系 检验结果 8.4 向量自回归模型与脉冲响应分析 8.4.1 VAR模型中的脉冲响应介绍在很多情况下，VAR模型中的各个等 式中的系数并不是研究者关注的对象， 其主要原因就是VAR模型系统中的系数往 往非常多。经济学家和计量经济学者经常使用 脉冲响应函数来解释VAR模型的经济学上 的含义。图8-3 EViews中VAR 脉冲响应分析的对话界面8.4.2 简单脉冲响应函数 这里介绍的简单IRF包括两种形式 ：一是所谓的“单位残差IRF”；另一 个是“单位标准差IRF”。1) 单位残差IRF(8.56)2）单位标准差IRF 从模型(8.66)可以看到，当随机 冲击为单位1时，即 时，其影响

10、 马上就能体现在模型(8.66)中。但是 ，因为VAR模型中的变量之间是线性关 系，所以这种影响的大小会随随机冲 击的单位变化而变化。为此，经常使 用的是随机冲击的一个单位的标准差 。所以，单位标准差IRF的定义是 变量在受到随机冲击一个单位标准差 的变化后的动态变化路径。在这种 IRF的计算过程中，同样不考虑各个 随机扰动项之间的相关性（即假定相 关性为0）。8.4.3 正交脉冲响应函数在简单IRF的介绍中，实际上有一个非 常强假设，就是我们假设当 发生变化时 ，如变化了一个单位或者一个单位的标准 差，其他的扰动项的变化为0。这种假设实 质上是假定扰动项的方差-协方差矩阵为对 角矩阵，即：但

11、一般情况下，这个方差协方 差矩阵却并不是一个对角矩阵。解决 这个问题的办法之一就是使用所谓的 “正交脉冲响应函数”。正交IRF的基 本思想是依据VAR模型中变量的排列顺 序，将互相有相关性的扰动项 转化 成不相关的一组随机干扰项 ，这种 互不相关的特性在计量经济里称为“ 正交”。如果我们能够找到这样的 ，则有 。这样，就可以分析VAR模型中 的变量在受到1个单位的 的冲击后的动 态路径了，这就是正交IRF。从上面的分析不难看到，关键是要 将相关的扰动项向量分解成不相关的扰 动项向量。到目前为止有以下几种常用 的分解方法。1) 三角分解的冲击对 的影响，就可以通 过正交IRF计算，即：2）乔莱斯

12、基分解设 表示一个对角矩阵，对角线 位置的元素等于 的标准差。这 样，就可以将模型 重新写成 ：其中： 。 3) 广义IRF上文已经介绍过，正交IRF的一个主 要问题是其对VAR模型中变量排序比较敏 感。为了克服这一问题，Pesaran and Shin (1998)在一篇快讯文章中（ Economics Letters）提出了一种新方法 ，用以构建随机冲击项的一系列正交集 。该方法称为广义IRF。这种方法不需要 将所有冲击项都正交化，并且不受 VAR 模型中变量的排序影响。4)User Specified IRF 有些软件，如EViews，还为实践者 提供了自行设立脉冲响应的选项。你需 要在

13、相应的编辑窗口给出用来保存脉冲 响应函数的矩阵或者是向量。但是要注 意，如果VAR模型有n个内生变量，那么 脉冲响应函数的矩阵必须具有n行、1或n 列，这样，每一列便对应一个脉冲函数 向量。8.5 VAR模型和方差分解所谓方差分解，就是指我们希望 知道一个冲击要素 的方差能由其他 随机扰动项解释多少。通过获得这个 信息，我们可以获知每个特定的冲击 因素对于 的相对重要性。未来h期预测所对应的均方差：未来h期预测对应的均方差的表达式为因此，第j个正交冲击项对未来h期预测 的均方差的贡献为方差分解的结果有时候对VAR模型 中变量的排序很敏感。然而，正如 Enders(2004, p.280)所指出的，无论 是正交脉冲响应还是方差分解，在研 究经济变量之间的互动关系时还是非 常有帮助的。特别是，当VAR系统中各 个等式中的随机扰动项彼此之间的相 关性比较小时，脉冲响应和方差分解 受变量排序的影响就非常小了。在一个极端情况下，VAR系统中的各 个扰动项彼此正交，互不相关，那么矩 阵 应该是对角矩阵。在这种情况下， 依据模型（8.68）可以知道，矩阵A必定 是一个单位矩阵，从而 。这时，模 型（8.84）中的第j个方差贡献就变成了 ：或者写成更简单的形式：这样，对 未来h期的预测方差归 结到 的贡献，或者说归结到 的贡献 ，即方差分解，可以计算为：表8-5 VAR模型 方差分析结果