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1、Henan Agricultural University 等价向量组 向量组的极大线性无关组 向量组的秩第三节 向量组的秩和极大线性无关组 Henan Agricultural University为此，研究向量组的极大线性无关组，并引入向量组的秩。 但这两个问题的研究，必须介绍等价向量组的概念。 2. 向量组a1 a2 am线性相关的充分必要条件是它所构成的 矩阵A(a1 a2 am)的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充 分必要条件是R(A)m 一、引言1. 设向量组A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1 a2 am b 线性相关 则向量b必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的
2、 由以下命题可见： 1.向量组中的线性无关的部分组可以表示组中的向量；2.向量组的线性相关性可以由它所构成的矩阵的秩来研究Henan Agricultural University注 bj k1ja1k2ja1 kmjam ( j1 2 l ) 1.定义 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组 A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij) 使 矩阵 K 称为这一线性表示的系数矩阵 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 二、向量组的等价性B =AKHenan Agricultural Univers
3、ity若CAB 则(1)矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 (2)矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示 若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij) 使 一般地，Henan Agricultural University2.等价的向量组的性质：（1）自反性：向量组与其自身等价；（2）对称性：若向量组（I）等价于（II），则向量组（II）等价于（I）；（3）传递性：若向量组（I）等价于（II），向量组（II）等价于（III），则向量组（I）等价于（III）.Henan Agricultural University设有向量组A 如果在A中能选出r个向量a1 a2 a
4、r 满足(1)向量组A0 a1 a2 ar线性无关 (2)向量组A中任一向量都可由A0线性表示 那么向量组A0称为向量组A的一个极大线性无关组。 三、向量组的极大线性无关组1.定义2.等价定义(1)向量组A0 a1 a2 ar线性无关 (2)向量组A中任意r1个向量都线性相关 那么向量组A0称为向量组A的一个极大线性无关组。 Henan Agricultural University我们知道n维单位坐标向量构成的向量组 E e1 e2 en是线性无关的例1 全体n维向量构成的向量组记作Rn 求Rn的一个极大无 关组及Rn的秩 解 因此 向量组E是Rn的一个极大无关组。又知 Rn 中的任意n1个
5、向量都线性相关 显然 Rn的最大无关组很多 任何n个线性无关的n维向量 都是Rn的极大无关组 Henan Agricultural University（1）只含零向量的向量组没有极大无关组 规定它的秩为0 （3）向量组的极大无关组一般不是唯一的。例如 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 因为a1 a3和a2 a3都是线性无关组 而a1 a2 a3线性相关 所以a1 a3和a2 a3都是向量组a1 a2 a3的极大无关组3.性质（2）一个线性无关向量组的极大线性无关组是向量组本 身. 一个向量组的极大线性无关组一般不唯一，但是这些极 大线性无关组都含有相同个数的向
6、量. Henan Agricultural University(4) 若向量组A a1 a2 ar 能够由向量组B b1 b2 bs线性表示 且A a1 a2 ar线性无关，则 rs.(4) * 若向量组A a1 a2 ar 能够由向量组B b1 b2 bs线性表示 且rs, 则A a1 a2 ar线性相关.（5）一个向量组的极大线性无关组之间彼此等价 并与向量组本身等价；而且一个向量组的所有极大线性无关组所含向量 的个数相等.Henan Agricultural University三、向量组的秩1.定义 向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩. 2. 性质 等价的向量组有相同的秩
7、.事实上，由于向量组的极大无关组与向量组等价，由等价 的传递性，等价向量组的极大线性无关组等价，故有之。3.矩阵的行秩和列秩（1）定义 （2）性质行向量组的秩 列向量组的秩。Henan Agricultural University设A( a1 a2 am) R(A)r 并设r阶子式Dr0 由Dr0，知Dr 所在的r行线性无关（否则其中一行必可以由 其他行线性表示，则该行通过行的消法变换必可化为零行，此 时Dr0） 又由A中所有r1阶子式均为零 知A中任意r1个行向量都线性 相关（否则若A中存在某r1个行向量线性无关，则通过行变换 ，其中任一行必不能化为零行，即A的阶梯型中存在着r+1个非 零
8、行，即R(A)r） 因此Dr所在的r行是A的行向量组的一个极大无关组 所以A的 行向量组的秩等于r类似可证矩阵A的列向量组的秩也等于R(A) 矩阵的秩等于它的行向量组的秩 也等于 它的列向量组的秩 证明 即A的行向量组的 极大无关组所含向 量的个数等于即A 的秩由上述证明可知 若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式 则Dr 所在的r列即是A的列向量组的一个极大无关组 这为找到向量组 的极大无关组提供了方法。Henan Agricultural University四、向量组极大线性无关组的求法矩阵A经行初等变换化为B，则A的列向量组与 B对应的列向量组有相同的线性组合关系.1.把向量组按列排成矩阵
9、A; 2.用初等行变换把A化为简化的行阶梯形矩阵C; 3.求出C的列向量组的一个极大线性无关组; 4.与其相应的A中的列就是A的列向量组的一个极大线性无关组. Henan Agricultural University可见B中1，2，4列有单位矩 阵，对应B的一个最高阶(三 阶)非零子式，即B中1，2，4 列为B的一个极大线性无关组 。例2 求矩阵A的列向量组的 一个极大无关组 并把不属于 极大无关组的列向量用极大 无关组线性表示 其中相应地，A的1、2、4列 为A的一个极大无关组解 对A施行初等行变换变为 行最简形矩阵 = B令A(a1 a2 a3 a4 a5) B(b1 b2 b3 b4
10、b5) 由于b3b1b2b54b13b23b4 因此 a3a1a2 a54a13a23a4 Henan Agricultural University例4 求矩阵A的列向量组 的一个极大无关组 并把不属 于最大无关组的列向量用极 大无关组线性表示 其中三个非零行的首非零元所对 应的列向量a1 a2 a4为列向量 组的一个极大无关组解 对A施行初等行变换 变为行最简形矩阵 把A的行最简形矩阵记作 B(b1 b2 b3 b4 b5) 由于方程Ax0与Bx0同解 因此向量a1 a2 a3 a4 a5之间 与向量b1 b2 b3 b4 b5之间有 相同的线性关系 现在b3b1b2因此 a3a1a2 a54a13a23a4 b54b13b23b4Henan Agricultural University 等价向量组 向量组的极大线性无关组 向量组的秩小 结
