chapt球谐函数(学时)

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1、第十章 勒让德多项式 球函数10.1 勒让德方程及其解的表示10.1.1 勒让德方程 勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT（10.1.1）在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程（10.2）(10.1.2)式的解与半径 r 无关，故称为为球谐函数，或简称为球函数和球谐函数方程Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT球谐谐函数方程进进一步分离变变量，令得到关于的常微分方程 （10.1.3） 称为为 l 阶阶连带勒让德方程.令 和把自变变数从换为

2、换为，则则方程（10.1.3）可以化为为下列阶阶连带勒让德方程 形式的Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT（10.1.4 ） 若所讨论讨论 的问题问题 具有旋转轴对转轴对 称性，即定解问题问题 的解与无关，则则，即有（10.1.5） 称为为阶阶勒让德（legendre）方程 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.12 勒让德多项式的表示1. 勒让德多项式的级数表示我们们知道：在自然边边界条件下，勒让让德方程的解为为 （ 10.1.7）式中 上式具有多项项式的形式，故称也称为为第一类勒让德函数

3、为为 l 阶勒让德多项项式 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT注意到, 故可方便地得出前几个勒让让德多项项式: Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT2 勒让德多项式的微分表示 （ 10.1.10） 上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT3.勒让德多项式的积分表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有容易证证明微分表示（10.1.10）也可表示为环为环 路积积分形式（10.1

4、.11）C 为为 z 平面上围绕围绕并取正方向这这叫作勒让让德多项项式的施列夫利积分表示式点的任一闭合回路，Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.2 勒让德多项式的性质10.2.1 勒让德多项式的性质 1. 勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论： （i）的个零点都是实实的，且在内；（ii）的零点与的零点互相分离 2. 奇偶性根据勒让让德多项项式的定义义式，作代换换容易得到（10.2.1） 即当为为偶数时时，勒让让德多项项式为为偶函数，为为奇数时时为为奇函数 Kui Duan, Institute of Modern Phys

5、ics, CUPT3.勒让德多项式的正交性及其模不同阶阶的勒让让德多项项式在区间间上满满足(10.2.2) 其中当时满时满 足， (10.2.3)称为正交性 相等时可求出其模(10.2.4)Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT4. 广义傅里叶级数定理10.2.1 -1,1上的任一连续函数 可展开为（10.2.5） 其中系数(10.2.6)在实际应实际应 用中,经经常要作代换换,此时时勒让让德方程的解为为，这时这时 有 (10.2.7) （10.2.8）Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.2

6、.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开） 例10.2.1 将函数 按勒让让德多项项式形式展开.【解】 根据 （10.2.5）设设考虑虑到 ，由(10.2.6)显显然有 所以Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT例10.2.2 将函数 展开为为勒让让德多项项式形式 【解】令 ，则则由考虑虑到勒让让德函数的奇偶性可定出故有 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT下面我们给出一般性结论：结论1：设 为正整数，可以证明：结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数为奇函数， 则展开式（10.2.5）

7、系数若需展开的函数为偶函数，则展开式（10.2.5）系数Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT例10.2.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把展开为为广义义傅里叶级级数【解】 本例不必应应用一般公式 ，事实实上，是三次多项项式（注意既非奇函数，也非偶函数），设它表示为Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT比较较同次幂幂即得到由此得到Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.3 勒让德多项式的生成函数（母函数） 10.3.1勒让德多项式的生成函数

8、的定义 如图图10.2所示，设设在一个单单位球的北极放置一带电带电 量为为的正电电荷，则则在球内任一点（其球坐标记标记 作）的静电势为电势为 （10.3.1） 静电势电势遵从拉普拉斯方程，且以球坐标标系的极轴为对轴为对 称轴轴， 因此，应应具有轴对轴对 称情况下拉普拉斯方程一般解(10.2.14)的形式，Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPTKui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT即（10.3.2） 首先不妨研究单单位球内的静电势电势 分布在球心，电势应该电势应该 是有限的，故必须须取（10.3.3）

9、 为为确定系数，在上式中令，并注意到则得到 （ 10.3.4） Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT将上式左边边在的邻领邻领 域上展为为泰勒级级数（10.3.5） 比较（10.3.4）和（10.3.5）即知于是（10.3.3）成 为为(10.3.6)若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有（10.3.7） Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT于（10.3.6）中代入 ，即为为 （10.3.8） 因此或叫作勒让让德多项项式的生成函数（或母函数） Kui Duan, Institute of Mode

10、rn Physics, CUPT10.3.2 勒让德多项式的递推公式根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式 先把（10.3.6）写成 （10.3.9） 对对求导导 对对上式两边边同乘以，得（10.3.10） Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT相反，若对对（10.3.8）两边对边对求导导上式两边边同乘以，得将（10.3.8）式代入上式左边边得到比较较上式两边边项项的系数，得另一含导导数的递推公式Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT将（10.3.9）代入上式左边对对上式，比较较两边

11、边的项项的系数，得即（10.3.11）上式即为勒让德多项式的一个递推公式 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT例10.3.1 求【解】 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT例 10.3.2 求积积分 【解】利用递推公式（10.3.11） 故有Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10. 5 球函数10.5.1球函数的方程及其解1. 球函数方程根据分离变量法，在球坐标系中将下列亥姆霍兹方程 实施分离变量 (10.5.1) 式中Kui Duan, In

12、stitute of Modern Physics, CUPT令 ， 则则得到由亥姆霍兹兹方程实实施分离变变量所满满足的方程 (10.5.2)与拉普拉斯方程分离变变量导导出的方程欧拉方程（10.1.1）(10.5.3)已经有所区别关于(10.5.3)的解在贝塞尔函数部分讨论 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT而角度部分的解，满满足下列方程(10.5.4)上式由亥姆霍兹方程实施分离变量所得的方程（10.5.4） 与拉普拉斯方程导出的（10.1.2）球函数方程具有相同的形 式，仍为球函数（或球谐函数）球函数方程（10.5.4）再分离变量，令 得到

13、两组本征值问题 （i） （10.5.5）本征值为值为 本征函数为为 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT(ii) (10.5.6)本征值值 本征函数 在区域中求解， 得到与本征值值相应应的本征函数 实际上应由下列两个本征函数之积组成，即为 （10.5.7）其中 是变变量相应应于本征值值的本征函数； 是变变量相应应于本征值值 （对对于确定的）的本征函数 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT2. 球函数表达式（1）复数形式的球函数表达式为了使得(10.5.7)所表示的函数系构成正交归一系， 必须添加

14、适当常系数，于是定义(10.5.8) 为为球谐谐函数的本征函数（相应应于本征值值，并称它为球函数（球谐函数）表达式 上式（10.5.8）也是复数形式的球函数其中归归一化系数的值值后面会给给出Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT线线性独立的阶阶球函数共有个 因为对应为对应 于，有一个球函数； 对应对应 于则则各有两个球函数即和根据欧拉公式，将复数形式的球函数统一表示为（10.5.9） 在（10.5.9）之中，独立的阶阶球函数仍然是个 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.5.2 球函数的正交关

15、系和模的公式1 球函数的正交性根据的正交性质质,当时时，可以得到的正交性，即当或时时有即（10.5.11） 根据的正交性 ,当 时时，Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT10.5.4拉普拉斯方程的非轴对称定解问题例10.5.1 在半径为球外（）求解定解问题【解】在球坐标系下，定解问题即为Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT【解】 令代入（10.5.22），通过变量分离得到拉普拉斯方程 （10.5.22）的一系列特解其中都是任意常数通解为 再代入定解条件Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT（10.5.26）利用三角函数和连带勒让德多项式的正交性和归一性， 即可算出（10.5.25）中的待定系数Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT