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1、3.4 3.4 概率的应用概率的应用 例1. 在英语中某些字母出现的概率远远 高于另外一些字母.在进行了更深入的研 究之后，人们还发现各个字母被使用的 频率相当稳定.例如，下面就是英文字母 使用频率的一份统计表.字母空格ETOANIRS频频率0.20.1050.0710.06440.0630.0590.0540.0530.052字母HDLCFUMPY频频率0.0470.0350.0290.0230.02210.02250.0210.01750.012字母WGBVKXJQZ频频率0.0120.0110.01050.0080.0030.0020.0010.0010.001从表中我们可以看出，空格的
2、使用频率 最高.有鉴于此，人们在设计键盘时，空格 键不仅最大,而且放在使用方便的位置. 近年来对汉语的统计研究有了很大的发 展.关于汉字的使用频率已有初步统计资料 ，对汉语常用词也作了一些统计研究.这些 信息对汉字输入方案等的研制有很大帮助. 使用过汉字拼音输入法的同学可能有体会.如图，当输入拼音“shu”，则提示有以 下几种可供选择：1.数，2.书，3.树，4.属 ，5.署这个显示顺序基本上就是按照 拼音为“shu”的汉字出现频率从大到小排 列的. 数 1 数 2 书书 3 树树 4 属 5 署 6 输输 7 淑 8 术术 9 舒 例2. 在密码的编制和破译中，概率论起着 重要的作用.要使敌
3、人不能破译电文而又能 使盟友容易译出电文，一直是外交官和将 军们关心的问题.为了保密，通讯双方事先 有一个秘密约定，称为密钥.发送信息方要 把发出的真实信息明文，按密钥规定 ，变成密文.接收方将密文按密钥还原成明 文. 例如，古罗马伟大的军事和政治家凯撒 大帝把明文中的每个字母按拉丁字母次序 后移三位之后的字母来代替，形成密文.接 收方收到密文后，将每个字母前移三位后 便得到明文. 这是一种原始的编制密码方 法。以传送命令：“We will start the fight at eleven O clock on Wednesday”为例，编译 这个命令得到“Zh zloo vwduw wkh
4、 iljkw dw hohyhq r forfn rq Zhgqhvgdb”。 如果初次接触，会感到莫名其妙，不知 如何是好。在书面语言中单个的字母不是以同样 的频率出现的.从例1中英文字母出现频率 的统计表中我们可以看出，在英文常用文 章中， 这种方法使用了很长一段时间后，有人 掌握了破译的方法。你知道是如何破译的 吗？ 平均说来出现字母“E”的频率约为10.5%, “T”约为7.1%，而“J”的出现远小于1%. 如果掌握了这个规律，再用上面的方法 解密，通过对用密码写的密文中的字母进 行频率分析，就能比较容易地破译出密文 ，出现频率最高的字母，无论你在编译中 使用什么字母，它一般都表示“e
5、”，出现 频率次高的字母大概是“t”，等等。 现代保密系统采用了能确保每个字母出现在 密文中的概率都相等的技术. 一种理论上不可破 译的密码是“一次性密码本”（用后立即销毁）. 这种密码本是一长串的随机数，每个都在1和26 之间.这样一种密码本可能从以下数开始：19， 7，12，1，3，8，. 。如“ELEVEN”这个词，用按字母表顺序排在 E后面第19个字母表示E，而用L后面第7个字 母表示L，等等.因此，ELEVEN变成了 XSQWHV. 注意，尽管在明文中“E”出现3次， 但是在密文XSQWHV中却是用三个不同的字 母来替换的. 例3. 社会调查人员希望从人群的随机抽样调查 中得到对他们
6、所提问题诚实的回答.但是被采访 者常常不愿意如实地作出应答.1965年Stanley L. Warner发明了一种应用概率 知识来消除这种不愿意情绪的方法. Warner的 随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个 问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪 个问题. 两个问题中有一个是敏感的或者是令人 为难的；另一个问题是无关紧要的. 这样应答者 将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己 回答的是哪个问题.例如在调查运动员服用兴奋剂的时候 ，无关紧要的问题是“你的身份证号码的 尾数是奇数吗”，敏感的问题是“你服用过 兴奋剂吗”，然后要求被调查的运动员掷 一枚硬币.如果出现正面，就回答第一个 问
7、题，否则回答第二个问题.假如我们把这种方法用于200个被调查的 运动员，得到54个“是”的回答.因为掷硬币出现正面的概率为 ，我们 期望大约有100人回答了第一个问题.因为 身份证号码尾数是奇数或偶数的可能性是 同样的，因而在回答第一个问题的100人 中大约有一半人，即50人，回答了“是”. 其余4个回答“是”的人服用过兴奋剂. 由此 我们估计这群人中大约有4%的人服用过 兴奋剂 例4. 为了估计水库中的鱼的尾数，可以使 用以下的方法：先从水库中捕出一定数量 的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号， 不影响其存活，然后放回水库.经过适当的 时间，让其和水库中其余的鱼充分混合， 再从水库中捕出一
8、定数量的鱼，例如500 尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾. 试 根据上述数据，估计水库内鱼的尾数.解：设水库中鱼的尾数为n，从水库中任 捕一尾，每尾鱼被捕的频率（代替概率） 为 ，第二次从水库中捕出500尾，带 有记号的鱼有40尾，则带记号的鱼被捕的 频率（代替概率）为 则解得n25000.所以水库中约有鱼25000尾 .例5.深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通 事故，该市有两家出租车公司：红色出租 车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租 车公司和红色出租车公司分别占整个城市 出租车的85%和15%，据现场目击证人说 ，事故现场的出租车是红色的，对证人的 辨别能力作了测试，测得他辨认颜色的正 确
9、率为80%，于是警察就认定红色出租车 具有较大的肇事嫌疑。 请问警察的认定对 红色出租车公平吗？试说明理由。 解：设该城市有出租车1000辆，那么依题 意可得如下信息：从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且经确认是红色的概率为 而是蓝色的概率为 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据，对红色出租车显然是不公平的。例6. 在42位美国总统中，有两人的生日相同，三人卒日相同。什尔克生于1795年11月2日，哈定则生于1865年11月2日；门罗卒于1831年7月4日，而亚当斯、杰佛逊都卒于1826年7月4日。还有两位总统的死期都是3月8日：费尔莫死于1874年，塔夫脱死于1930年，这是巧合吗
10、？ 解：这是历史上有名的生日问题，记n为 相关的人数，n个人中至少有两人的生日 在同一天的概率为P(A)，则有下表： 上表所列的答案足以引起多数人的惊奇， 因为“至少有两人生日相同”这件事情发生 的概率，并不是大多数人直觉想象中的那 样小，而是相当大，由表中可以看出，当人数是40时，“至少有两人生日相同”的概率为0.89，因此，在41位美国总统中，有两人生日相同，三人卒日相同，根本不是什么巧合，而是很正常的.例7某种病治愈的概率是0.3，那么，前 7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？ 如何理解治愈的概率是0.3？解：如果把治疗一个病人作为一次试验， 治愈率是0.3，随着试验次数增加，即治疗
11、的病人数的增加，大约有30%的人能够治 愈，对于一次试验来说，其结果是随机的 ，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3 个人来说，其结果仍然是随机的，即有可 能治愈，也可能没有治愈。治愈的概率是0.3，是指如果患病的人有 1000人，那么我们根据治愈的频率应在治 愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为 这1000人中，大约有300人能治愈，这个事 先估计对于医药卫生部门是很有参考价值 的。这也进一步说明了随机事件的概率只 是反映了大量重复试验条件下，随机试验 发生的频率稳定性。例8有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。
12、你认为这种想法正确吗？例9概率天气预报是用概率值表示预报量 出现可能性的大小，它所提供的不是某种 天气现象的“有”或“无”、某种气象要素值 的“大”或“小”，而是天气现象出现的可能 性有多大。 如对降水的预报，传统的天气 预报一般预报有雨或无雨，而概率天气预 报则给出可能出现降水的百分数，百分数 越大，出现降水的可能性越大。概率天气预报既反映了天气变化确定性 的一面，又反映了天气变化的不确定性和 不确定程度。在许多情况下，这种预报形式更能适应 经济活动和军事活动的需要。请问：你对概率天气预报，如概率降水 预报了解多少？4在一个实验中，一种血清被注射到500 只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只
13、有 圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有 不规则形状细胞，被注射这种血清之后， 没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50 个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不 规则形状细胞的豚鼠全部被感染。根据实 验结果，估计具有下列细胞有豚鼠被这种 血清感染的概率： （1）圆形细胞；（2）椭圆形细胞；（3 ）不规则形状细胞。解：（1）记“具有圆形细胞的豚鼠被感染 ”为事件A，则由题意可知，A为不可能事 件，所以P(A)=0； （2）记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染” 为事件B，则由题意，得P(B)=0.2. （3）记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感 染”为事件C，则由题意可知，C为必然事 件，所以P(C)=
14、1.http:/ http:/ http:/www.bj- http:/ http:/ wod42xqy道。众人：“是啊，我们都看见了”“这就是证据！”领头的士兵说道，“你还有什么好说。”“是这个奶奶碰瓷在先， 我”面对不知实情的人们，慕容凌娢不知该从何说起。“你刚刚说了碰瓷？”领头的士兵低下头小声的询问。“嗯， 怎么”慕容凌娢突然想醒悟，碰瓷一词源于清朝末年，而此时不管是人们的服饰，还是生活方式。绝不会处于清朝末 年。“你们几个，先回去复命。就说犯人已经被制服了。”此人向身后其他几个士兵命令道，“我随后就到。”“是。”其他 几个士兵训练有素的齐声回答。“小姑娘，你也是穿越过来的吧？”领头人见
15、士兵都走了，人群散开后，才敢提起此事。“这 么说你也是了？”慕容凌娢十分兴奋。今天居然接连碰见两个和自己一样穿越过来的人，太匪夷所思了。“那你可一定要相信 我啊，那个老奶奶我根本没有撞。”“这个我当然相信，因为她跟我们是一伙的”(古风一言)江山替换人世无常，谁又可 以在这浩荡风烟中一如既往。第007章 晴穿会是什么鬼？“这个我当然相信，因为她跟我们是一伙的。”“什么？”慕容凌娢 叫了出来，不自然的后退了几步。“那那你想怎样。”“哈哈哈你还真是警惕呢。”士兵头领豪爽的大笑，丝毫不在 乎慕容凌娢惊恐不安的表情。“我叫刘钦，刚刚演碰瓷的那个是甲晓念。她和我都是晴穿会的。”“晴穿会”慕容凌娢小 声念了
16、一遍这个古怪的名称，“感觉好像个旅行社的名字。”“等你到了那里就知道是怎么回事了。”刘钦突然一本正经起来 ，“晴穿会可比你想象的要厉害的多。”“可是刚才那个老奶奶叫什么来着是怎么回事？”慕容凌娢问道，“她既然 是晴穿会的人，为什么会上街碰瓷呢？”“哈哈哈你居然叫她奶奶，呵呵”此时他那谜一样的笑点已经让慕容凌娢彻 底迷糊了。“怎么了，我有说错吗？”慕容凌娢非要刨根问底。“甲晓念如果听见你叫她奶奶，一定会发疯的。”这样一说慕 容凌娢就更是懵逼了。“那个能不能直接说重点。”“这种碰瓷是我们两个经常用的骗人把戏，专用来坑钱。”一说到这 件事，刘钦就显得十分自豪，“至于甲晓念为什么要扮成老太太，据她自己说是为了演的更逼真一些。”“额我还有一个 问题。”这种离奇的剧情已经成功勾起了慕容凌娢的好
