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1、机 械 振 动 理 论于德介绪 论振动是日常生活和工程中普遍存在的现象，有机械振动、 电磁振荡、光的波动等不同的形式。这里研究机械振动，如钟摆的摆动、汽车的颠簸、混凝土 振动捣实以至地震等。特点：物体围绕其平衡位置而往复运动。掌握机械振动的基本规律，可以更好地利用有益的振动而减 少振动的危害。广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某 一数值附近反复变化。机械振动 电磁振动 振动有各种不同的形式一、振动工程的重要性 1. 大型回转机械动态失稳造成事故 2. 桥梁由于共振、风激振动倒塌 3. 产品包装 4. 汽车舒适性，航天工程 5. 机床加工质量 6. 夯士、振动检测 国家重点工程:长江三峡水
2、利枢 纽工程,135米蓄水前中孔闸门 振动试验现场(2003年4月应用 锤击模态法) 武汉大桥局桥科院、北方交通大学进行的“ 秦-沈线中华之星高速列车通过桥梁振动及 结构应变试验” 。 中华之星高速列车设计 时速260Km/h，实际测试时速 321.5 Km / h 。大桥为 28 孔双线后张法 预应力混凝 土简支箱梁桥 ， 梁顶宽12.4m，梁高2.2m ，梁跨长24.6m。案例：齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析， 确定最大频率分量，然后根据机床 转速和传动链，找出故障齿轮。案例：螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆的固 有频率和临界转速，确定螺旋浆转 速工作范围。二、动态问题特点
3、 1. 复杂性：载荷作用的后效性，响应对载 荷的记忆性 2. 危险性：共振、自激振动（在无外力的 激励情况下突然振动，振幅上升，如机床、轧 钢机、飞机）、颤振 3. 超常性：振动现象难以直观解释，如共 振、调谐消振器三、工程振动问题类型 1. 振动分析(已知输入,系统求输出) 2. 系统识别(已知输入和输出求系统） 3. 载荷识别(已知系统,输出求输入)四、振动现象分类 1. 按系统分：线性、非线性 2. 按响应分：定则、随机 3. 按输入分：自由、强迫、自激（由系统反馈 引起）、参数激励、（随机或周期改变系统特性 ） 4. 按自由度分、离散、连续 离散：常微 连续：偏微 本课程：线性、时不变
4、系统。第一章单自由度系统自由振动1. 自由振动微分方程工程中许多振动可简化为一个质量和一个弹簧的弹簧质量系统，系统在重力作 用下沿铅垂方向振动的，具有一个自由度，简化为图示模型。下面来分析其运动规律，先列出其运动微分方程。一. 单自由度系统的自由振动在重力P=mg 的作用下 弹簧变形为s，称为静变形，该位置为平衡位 置。重力和弹簧力。平衡时满足：设弹簧原长为l0，刚性系数为k。取重物的平衡位置点O为坐标原点，取x轴的正 向铅直向下。受力如图 。由质点运动微分方程可列：弹簧力F：表明，物体偏离平衡位置于坐标x处，受到与偏离距离成正比 而与偏离方向相反的合力，称此力为恢复力。在恢复力作用下维持的振
5、动称为无阻尼自由振动。重力加在振动系统上只改变其平衡位置，只要将坐标原点取在 平衡位置，可得到如上形式的运动微分方程。两端除以质量m，并设移项后得:无阻尼自由振动微分方程的标准形式是一个二阶齐次线性常系数微分方程。方程解表示为：两个根为：设：代入微分方程，消去ert 得特征方程：C1和C2是积分常数，由运动 的起始条件确定。则解为：设：其运动图线为：表明：无阻尼自由振动是简谐振动。x（t）= x（t+T） T为常数，称为周期，单位符号为s。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程角度周期为2，则有:则自由振动的周期为：解为：2.无阻尼自由振动的特点（1）固有频率无阻
6、尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t，其运动规 律x（t）总可以写为:其中称为振动的频率 表示每秒钟的振动次数，其单位符号为1/s或Hz（赫兹）。 因为n=2f 所以n表示2秒内的振动次数，称为圆频率 单位符号为rad/s（弧度/秒）。 由可得：自由振动的圆频率n只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关，而与运动的 初始条件无关； 它是振动系统的固有的特性，所以称n为固有圆频率。固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了振动系统的动力学特性，计算系 统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。 由上式表明：上述振动系统，知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频 率。 如：我们可
7、以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。 满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动频率比空载车厢低。（2）振幅与初位相 谐振振动表达式A表示相对于振动中心点O的最大位移，称为振幅。 （nt+）称为相位（或相位角），相位决定了质点在某瞬时t的位 置，它具有角度的量纲，而称为初相位，它决定了质点运动的 起始位置。自由振动中的振幅A和初相位是两个待定常数，它们由运动 的初始条件确定。设在起始t=0时，物块的坐标x=x0，速度v=v0。为求A和，将初始条件代入以上两式，得到得到振幅A和初相位的表达式为：自由振动的振幅和初相位都与初始条件有关。两端对时间t求一阶导数，得物块速度3. 简谐振
8、动(谐振动)特点物体振动时，如果离开平衡位置的位移x(或角位移)随时间t 变化可表示为余弦函数或正弦函数(1). 弹簧振子的振动弹簧振子：弹簧物体系统 平衡位置：振动物体所受合外力为零的位置物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力和惯性两个因素互相制约 下，不断重复相同的运动过程。由胡克定律及牛顿第二定律可得物体的瞬时加速度:谐振动运动方程谐振动微分方程其通解为：（1）（2）两式均为物体作谐振动的特征表述。(2)、弹簧振子的振动方程微分方程形式一个运动物体，它的 加速度a与它离开平衡位置 的距离恒成正比而反向那 么此物体一定作简谐振动 。物体离开平衡位置后，总是受 到一个方向指向平衡位置，大小与物
9、体离开平衡位置的距离成正比的力的 作用，则此物体一定在作简谐振动。-线性回复力运动学特征动力学特征上述谐振动的特征表述均等价。简谐振动特点： (1)等幅振动 (2)周期振动简谐振动定义（判据）：描述运动的物理量遵从微分方程或运动方程为 运动学特征为维持运动物体所受合外力动力学特征例：判断下列运动是否为简谐振动乒乓球在地面上的上下跳动小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动mgO切向运动谐振动竖直方向悬挂的谐振子yO光滑斜面上的谐振子mkX0mk速度速度也是简谐振动 比x领先/2加速度也是简谐振动简谐振动的速度、加速度toT(3). 描述简谐振动的特征量-周期、振幅、相位 a、周期T-物体完成一
10、次全振动所需时间。 对弹簧振子：物体在单位时间内完成振动的次数。频率角频率b. 振幅 Ac. 相位 t+ 决定振动物体的运动状态谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。相位t+ =0 x=A v=0 a=-2A相位t+ =/2 x=0 v=-A a=0OAXOAX(t + )是 t 时刻的相位 是t =0时刻的相位 初相(或.T). A 和 三个特征量确定，则谐振动方程就被 唯一确定。其中(或.T)由系统本身的性质决定 A 和 由初条件决定如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cmt=0时 x0=-9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； （2）若取x0=0
11、，v0为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。 XOmx解： 确定平衡位置 mg=k l 取为原点k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动 设振动方程为例 题由初条件得由x0=Acos=-0.0980x0=Acos=0 , cos=0 =/2 ,3/2 v0=-Asin0 , sin 0, 则 x2比x1 较早达到正最大, 称x2比x1超 前 (或x1比x2落后)。超前和落后x2TxoA1-A1A2- A2x1t领先、落后以n和n=n三种不同情形分别进行讨论。3.小阻尼情形阻尼较小，称为小阻尼情形。A和为两个积分常数，由运动 的初始条件确定或其中称有
12、阻尼自由振动的圆频率当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v=v0 可求得有阻尼自由振动中的振幅和相位：这种振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动。衰减振动 的运动图线如图所示。由衰减振动的 表达式：这种振动不符合周期振动的定义，所以不是周期振动。但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特点。我 们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需的时间 称为衰减振动的周期，记为Td ，如上图所示。称为阻尼比。它是振动系统中反映阻尼特性的重要参数。在 小阻尼情形下，1。有阻尼自由振动周期Td、频率fd和圆频 率d与相应的无阻尼自由振动的T 、f和n的关系：表明：由于阻尼的存在，使
13、系统自由振动的周期增大，频率减 小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：其中：d =n ， Td =T经过一个周期Td，系统到达另一个比前者略小的最大偏离值Ai+1这两个相邻振幅之比为设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有由衰减振动运动规律：Ae-nt相当于振幅这个比值称为振幅减缩率。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减 振动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。上述分析表明，在小阻尼情况下，阻尼对自由振动的频率影响较 小；但阻尼对自由振动的振幅影响较大，使振幅呈几何级数下降 。上式表明对数减缩率与阻尼比之间只差2倍，也是反映阻尼特性的一个参数。称为对数减缩率两端取自然对数得例如当
14、阻尼比=0.05时，可以计算出其振动频率只比无阻 尼自由振动时下降0.125%，而振幅衰减率为0.7301。经过 10个周期后，振幅只有原振幅的4.3%。对数减缩率与阻尼比的关系为：当n=n（=1）时，称为临界阻尼情形。这时系统的阻尼系数用cc称为临界阻 尼系数。在临界阻尼情况下，特征根为两个相等的实根，即：得微分方程的解为其中C1和C2为两个积分常数，由运动的起始条件决定。上式表明：这时物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置 ，因此运动已不具有振动的特点。4.临界阻尼和大阻尼情形从式当nn( 1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c cc 。 在这种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，
15、即：微分方程的解为其中C1、 C2为两个积分常数，由运动起始条件来确定，运动图线如下图所示 ，也不再具有振动性质。例. 图示一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kt，圆盘对杆轴的转动惯量为 J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为Td 。求圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系。解： 1)取盘为研究对象 2）盘外缘切向阻力与转动速度成正比， 则此阻力偶矩M与角速度成正比，且 方向相反。为阻力偶系数设化简：圆盘绕杆轴转动微分方程为解出阻尼系数例. 图示弹簧质量阻尼系统，其物块质量为0.05kg，弹簧刚度k=2000N/m。使系统 发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比,求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少？解：求出对数减缩率:阻尼比为:系统的临界阻尼系数为:阻尼系数:
