随机信号与噪声

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1、西 北 工 业 大 学 2011.1第2章 随机信号与噪声分析通 信 原 理第2章 随机信号与噪声分析通信原理*2第2章 随机信号与噪声分析本章是本课程的重要数学基础。 研究内容：2.1 引言2.2 随机过程的基本概念2.3 平稳随机过程2.4 高斯随机过程2.5 平稳随机过程通过线性系统2.6 窄带随机过程2.7 正弦波加窄带随机过程2.8 高斯白噪声和带限白噪声第2章 随机信号与噪声分析通信原理*32.1 引 言 通信-是在噪声背景下信号通过通信系统的过程，分析与 研究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。 随机信号：通信系统中用于表述信息的信号不可能是单一 的、确定的，而是具有不确定性

2、和随机性。 随机噪声：通信中存在的各种干扰和噪声，其波形更是随 机的、不可预测的。 随机过程：尽管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机 的，但它们具有一定的统计规律。从统计学的观点看，均可 表示为随机过程。随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时 间函数描述。统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分 析中来。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*42.2 随机过程的基本概念 2.2.1 随机过程的概念 考察：假设有n台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试 其输出。（n-足够大的正整数）得到一系列噪声波形x1(t)、x2(t)、x3(t)、.、xn(t) 。结果：

3、理想时，波形似乎应该一致，但实际不然。找不到两个完全相 同的波形！第2章 随机信号与噪声分析通信原理*5讨论： 每一个记录xi(t)都是一个随机 起伏的时间函数随机函数 。 全部随机函数的集合随 机过程：X(t) =x1(t), x2(t), , xn(t) 每一条曲线xi(t)都是随机过程 的一个实现/样本为确定的 时间函数。在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值x(t1) ，发现他们的值是不同的 是一个随机量（随机变量）。角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*6讨论： 在任一给定时刻t1上，每一个样本

4、函数xi (t)都有一个确定的数 值xi (t1)。但在同一时刻，不同样本的取值xi(t1) ，i=1，2，n却是一个随机变量。换句话说，随机过程在任意时刻t1的值X(t1)是一个随机变量。因此，又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。角度1：对应不同随机试验结 果的时间过程的集合。 角度2：随机过程是随机变量 概念的延伸。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*7概括：随机过程X(t)的含义属性有三点：（1）X(t)是t 的函数。（2）X(t)在任一时刻 t1上的取值X(t1)不是确定的，是一个 随机变量。即每一时刻上的函数值是按照一定的概率分布的 。（3） X(t)的任

5、一实现xi (t)是一个确定函数，随机性体现在 某一样本出现的随机上。 时间平均概率论：随机变量分析分布函数和概率密度研究内容随机过程统计描述：1. 随机过程的分布函数2. 随机过程的数字特征第2章 随机信号与噪声分析通信原理*82.2.2 随机过程统计描述仅观察图2-1所给出的样本函数，很难定量的描述这个随机过程的变化规律。因此，需要从统计的意义上来研究样本波 形，将它们所具有的共性，即相同的特性提炼出来，这就是 随机过程的统计描述。随机过程的统计特性是通过它的分布函数或数字特征加以描述的。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*91. 随机过程的分布函数设X (t)表示一个随机过程，它在任意时

6、刻t1的值X (t1)是一个随 机变量，根据概率论的知识，随机过程X(t)的-（1）随机过程X(t)的一维描述-反映随机过程在任一时刻的取 值统计特性。 一维分布函数表示随机变量X(t1)小于或等于某一数值x1的概率。 一维概率密度函数若上式中的偏导存在的话。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*10（2）随机过程 (t)的二维描述-反映随机过程在不同时刻取 值之间的关联程度。 二维分布函数任意给定时刻t1 、t2， 和 同时成立的概率：二维概率密度函数若上式中的偏导存在的话。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*11（3）随机过程X (t)的多维描述n维分布函数 n维概率密度函数第2章 随机信号

7、与噪声分析通信原理*12目的/意义： 可以把随机过程X(t)当作一个多元的随机变量来看待，而用这个多元随机变量X(t1)，X(t2)，.，X(tn)的分布函数或概率密度来描述随机过程的统计特性。显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。统计独立:对于任何n个随机变量X(t1)，X(t2)，.，X(tn)，如果下式成立fn(x1, x2, ., xn；t1, t2, ., tn) = f1(x1, t1)f1(x2, t2).f1(xn, tn)则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*132.随机过程的数字特征引言问题：随机过程的分布函数（或概率密度

8、）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时间平 均”两种。 统计平均：对随机过程 X(t)某一特定时刻不同实现的可能 取值X(ti)随机变量 ，用统计方法得出的种种平均值叫统计平均。时间平均：对随机过程X(t)的某一特定实现xi(t) ，用数学分析方法对时间求平均得出的平均值叫时间平均。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*14随机过程在任意给定时刻t的数学期望。（1）随机过程的数学期望（均值）随机过程X(t)在任意给定时刻t1的取值X (t1)是一个随机变量， 其

9、数学期望为 式中 f1 (x1, t1) X(t1)的概率密度函数。由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x，这样第2章 随机信号与噪声分析通信原理*15a (t )X (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随机过程 的n个样本函数曲线的摆动中心，故又常被称为统计平均或均 值。 第2章 随机信号与噪声分析通信原理*16（2）方差均方值均值平方方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。 因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时 刻 t 相对于均值a ( t )的偏离程度。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*17（3）协

10、方差与相关函数随机过程不同时刻取值之间的相 互关系 假定：X(t1)和X(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。（A）自相关函数同一随机过程的相关程度f2 (x1, x2; t1, t2) X (t)的二维概率密度函数。 可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 （B）协方差函数=R( t,)第2章 随机信号与噪声分析通信原理*18相关函数和协方差函数之间的关系：特别：若a(t) =0，则 B(t1, t2) = R(t1, t2)（C）互相关函数两个不同随机过程X(t)、Y(t)的相关程度X(t)和Y(t)是不相关的-正交的随机过程。统计独立的两个随机过程是不相

11、关的。相应地：R(t1, t2)称为自相关函数。 特别：第2章 随机信号与噪声分析通信原理*192.3 平稳随机过程2.3.1 平稳随机过程的概念1.定义 若一个随机过程X(t)，它的任意n维分布或概率密度函数与时间 起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数，有则则称X(t)是平稳稳随机过过程。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*202.性质该定义表明：平稳随机过程的统计特性不随时间 的推移而改变。特别是： 一维分布函数与时间t无关：3.数字特征而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：可见：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关，为R()。第2章 随机信号与噪

12、声分析通信原理*21严平稳随机过程的数字特征：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。 4.广义平稳随机过程把同时满足（1）和（2）的随机过程定义为广义平稳随机过程。意义：具有各态历经性平稳随机过程十分有趣，非常有用。通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具有各态历经性的随机过程。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*222.3.2 平稳随机过程的各态历经性 问题的提出随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的 所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量 的样本。问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平 稳过程的数字特征呢?回答

13、是肯定的：平稳过程在满足一定的条件下具有一种十分有用的特性- “各态历经性”（或称“遍历性”）。具有各态历经性的过程 ，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任 一实现的时间平均值来代替。 条件？第2章 随机信号与噪声分析通信原理*23各态历经性条件设： xi(t)是平稳过程X(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*24“各态历经”的含义随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可能状态，其任一样本都蕴含着平稳随机过程的全部统计信息。 各态历经随机过程的特点好处在求解

14、各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无 限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平 均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算问题大为简化。注：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满 足各态历经条件。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*25例2-12 设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量 。试讨论X(t)是否具有各态历经性。【解】（1）先求X(t)的统计平均值。均值：与t 无关第2章 随机信号与噪声分析通信原理*26仅只与时间间隔 有关。 所以：X(t)是广义

15、平稳过程。自相关函数：令t2 t1 = ，得到第2章 随机信号与噪声分析通信原理*27结论：随机相位正弦波是各态历经的。（2）求X(t)的时间平均值综上，有第2章 随机信号与噪声分析通信原理*282.3.3 平稳过程的自相关函数特别重要，因为： 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述； 相关函数揭示了随机过程的频谱特性。（1）平稳过程自相关函数的定义：（2）平稳过程自相关函数的性质特别：均值为0时，有 R(0) = 2 的偶函数 R()的上界，R()在 = 0有最大值。 X(t)的平均功率 X(t)的直流功率 X(t)的交流功率1） 2） 3） 4） 5）第2章 随机信号与噪声分析通信原理*292） - R() 的上界。证：由于从而 所以，得对性质2）、4）、5）证明如下。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*304） -X(t)的直流功率。 证证：注：这里利用了当时X(t)与X(t+)变得没有依赖关系 ，即统计独立，且认为X(t)不含有周期分量。5） -方差为为X(t)的交流功率。证：由证毕。第2章 随机信号与噪声分析通信原理*312.3.4 平稳随