混合策略纳什均衡

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1、3 混合策略纳什均衡一、案例分析：门卫与小偷 二、混合策略纳什均衡 三、多重纳什均衡博弈 四、多重纳什均衡博弈的分析主要内容门卫与小偷：有一家公司为了防止盗窃聘请了一名门卫，但 是长期以来却发现仍有盗窃案件发生，公司讨论了两种方案 ，一是只要有失窃案件，则加重惩罚门卫，另一方案是，只要抓住小偷，则联合公安机关加重对小偷的惩罚。请分析哪 种方法对降低盗窃率有长效作用？V，-D-P，00，S0，0睡不睡偷不偷守卫小 偷一、案例分析猜硬币博弈-1， 11， -11， -1-1， 1正 面反 面猜硬币方盖 硬 币 方正 面反 面（1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合 （2）关键是不能让对方猜到自己策略

2、二、混合策略纳什均衡这类博弈很多，还有哪些例子呢？行 参 与 人列参与人混合策略：在博弈 中，博弈方 的策略空间为 ，则博弈方 以概率分布 随机在其 个可选策略中选择的“策略”，称为一个“混合策略”，其中 对 都成立，且混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间 （概率分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博 弈的“混合策略扩展博弈。设行参与人的策略选择概率为 ，列参与人的策略选择概率为则参与人1的期望支付为则参与人2的期望支付为混合策略纳什均衡设 是 人战略式博弈 的一个混合策略组合，如果对于所有的 ， 对于每一个 都成立，则称混合策略组合 是这个博弈的一个纳什均衡。注意：在纳什均衡下，没有

3、参与人有积极性单独偏离或改 变该策略或策略组合。例1 流浪汉 找工作 游荡0 , 0-1 , 1-1 , 33 , 2政府救济 不救济假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ； 则博弈方1的混合策略博弈方2的混合策略2， 35， 23， 11， 5CDAB博弈方2博 弈 方 1策略 得益 博弈方1 （0.8，0.2） 2.6 博弈方2 （0.8，0.2） 2.6例2例3 扑克牌对色游戏B 红 黑-1 , 11 , -11 , -1-1 , 1A红 黑假设A出红牌的概率为 ；B出红牌的概率为 ；则因此A的最佳反应函数为因此A的最佳反应函数为同理纳什均衡是：A和B出红牌还 是出黑牌的概率都是

4、1/2.反应函数法练习1：利用反应函数法找出政府与流浪汉博弈的纳什均衡流浪汉 找工作 游荡0 , 0-1 , 1-1 , 33 , 2政府救济 不救济假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ； 则纳什均衡是：政府以1/2的概 率选择救助，流浪汉以1/5的 概率选择找工作。练习2：利用反应函数法找出情侣博弈的所有纳什均衡丽娟 足球 芭蕾1 , 20 , 00 , 02 , 1大海足球 芭蕾例4 （激励的悖论）有一家公司为了防止盗窃聘请了一名门 卫，但是长期以来却发现仍有盗窃案件发生，公司讨论了两 种方案，一是只要有失窃案件，则加重惩罚门卫，另一方案 是，只要抓住小偷，则联合公安机关加重对小

5、偷的惩罚。请 分析哪种方法对降低盗窃率有长效作用？V，-D-P，00，S0，0睡不睡偷不偷守卫小 偷假设小偷选择偷的概率为 ；守卫选择睡觉的概率为 ；则V，-D-P，00，S0，0睡不睡偷不偷守卫小 偷加重对守卫的处罚：短期中的效果是使守卫尽职 在长期中并不能使守卫更尽职，但会降低盗窃发生的概率分析得到纳什均衡0- D- D守卫 得益(睡)S小偷 偷的概率1V，-D-P，00，S0，0睡不睡偷不偷守卫小 偷加重对小偷的处罚：短期内能抑制盗窃发生率 长期并不能降低盗窃发生率，但会使得守卫更多的偷懒睡觉0- P- P小偷 得益(偷)V守卫 睡的概率1监督博弈的纳税检查 A 为应纳税款，C为检查成本

6、， F是偷税罚款 。假定 C甲离B损失乙离B损失=16对于第一个博弈，甲离A损失乙离A损失4 甲离B损失乙离B损失=9对于第二个博弈，3）聚点均衡 利用博弈设定以外的信息和依据进行选择 的均衡 文化、习惯或者其他各种特征都可能是聚 点均衡的依据 城市博弈（城市分组相同）、时间博弈（ 报出相同的时间）是聚点均衡的典型例子4）相关均衡5， 14， 40， 01， 5LR博弈方2UD博 弈 方 1相关均衡例子三个纳什均衡：（U，L）、（D，R）和混合策略均衡（1/2，1/2）， （1/2，1/2）结果都不理想，不如（D，L）。可利用聚点均衡（天气，抛硬 币），但仍不理想。相关装置：1、各1/3概率A

7、、B、C2、博弈方1看到是否A，博弈方2看 到是否C3、博弈方1见A采用U，否则D；博弈 方2见C采用R，否则L。相关均衡要点：1、构成纳什均衡2、有人忽略不造成问题5）防联盟均衡博弈中若有三个及三个以上的局中人，就有可能部分人结 成“联盟”，在极大化联盟成员利益的同时损害了其他局中 人的利益。（U，L，A）、（D，R，B）纯策略纳什均衡（U，L，A） Pareto优于（D，R，B）丙L RU 0，0，10 -5，-5，0D -5，-5，0 1，1，-5乙 甲L RU -2，-2，0 -5，-5，0D -5，-5，0 -1，-1，5乙 甲ABL RU 0，0 -5，-5 D -5，-5 1，1

8、乙 甲（U，L）、（D，R）纳什均衡（D，R） Pareto 最优均衡（D，R，B）有效地防止了甲乙二人可能的联盟，避免了 丙的损失。在防联盟均衡这一层意义上，（D，R，B）优 于（U，L，A）。甲与乙组成一个联盟与丙博弈，联盟的一方互相协调，尽可能地 极大化联盟各个成员的赢利。这时甲乙两人条件博弈的最优均衡仍是（D，R）设（U，L，A）是博弈的预测解，让丙固定于A，则甲、 乙两人之间的条件赢得矩阵为A BL 0，10 -2，0 R -5，0 -5，0丙 乙从甲 的角度看，不管乙与丙是 否结盟，条件博弈的均衡仍为 （L，A），不违背原博弈的均 衡（U，L，A）。对博弈的预测需要从整体出发，防联盟均衡应全面考虑 。 固定任何一个局中人的策略选择，其他局中人将协调在 条件博弈的最优均衡上。 如果协调的结果偏离了原纳什均衡，则该纳什均衡不能 成为合理预测。多人博弈中，如果存在多重纯策略均衡，任何k人 联盟都不会发生背离现象的均衡是一个合理预测 ，符合这种推理的预测结局称为防联盟均衡。