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1、 从Malthus模型 到浑沌数学实验巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起 洛伦兹数学的伟大使命在于从混沌中 发现秩序。 倍尔在那个混沌的体制中，结构上的微 小差异几乎都会造成行为方式上的巨大 变化，可控制的行为似乎已被排除。 斯图尔特.考夫曼明年在得克萨斯的大风暴吗？ 函数的迭代，不动点和有关的作图 介绍浑沌，用数值迭代、蛛网迭代和密度 浑沌的倍周期分叉、遍历性和某些 计算机与科学研究(即使是数学)分布等方法来研究浑沌普适结构实验将告诉我们什么？问题的提出出现在各个领域的一种现象:数学、物理、 由此引起的复杂而有趣的现象 “侏罗纪公园”中的恐龙重现 我们的讨论 什么是浑沌? 生物、金融、经济、管理等
2、等： 宇宙的起源 龙卷风的产生、厄尔尼诺现象 东南亚金融危机爆发 从某些简单的离散的数学模型开始,进而讨论数学模型 Malthus 模型口数成正比,从而 xn+1 xn r xnxn+1 = a xn 其中 a=r+1. 设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人即是记 g (x) = a x，则是函数迭代xn= a xn1= a2xn2 = an x0 于是Malthus的结论：人口增长呈几何级数约35年增加一倍，与17001961年世界人口与近年统计结果有误差，由a 1,xn趋向无穷，xn1 g( x
3、n ) 容易得到统计结果一致模型在人口长期预测方面必定是失效的. Logistic模型生存资源是重要的因素，修改模型为： xn+1 xn= r xn b xn2 b xn2为竞争(约束)项，r、b 称生命系数,则xn+1= a xn- bxn2 ， （a=r+1）这是一个如下非线性映射的迭代 f1(x)= ax - bx2 数据观察（利用Mathematica） In1:= a=1.029; b=1.48654*10(-11); f1x_:=a*x-bx2;Forn=1979; x1979=9.7542*108, n=2002, n+, xn+1=f1xn; Printn+1, “ ”，xn+
4、1/108与统计数字接近1980 9.89564 1981 10.0371982 10.17841983 10.31951984 10.46051985 10.60121986 10.74161987 10.88151988 11.02111989 11.16011990 11.29861991 11.43651992 11.57381993 11.71031994 11.84601995 11.98091996 12.11501997 12.24821998 12.38031999 12.51152000 12.64172001 12.77012002 12.89862003 13.0245
5、了解混沌 Logistic映射 (Robert.May的研究）f(x)= a x(1- x)， x 在0,1内变化xn+1= f(xn) 从0,1内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成xn= f n(x0), n = 0,1,2,序列xn称为x0的轨道种群数的模型简化：相应的迭代为了一个序列，即 数值迭代（ a 逐渐增加，迭代会有何结果）1倍周期分叉现象 当0a 1时，由于0xnaxn+1 当1a3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于 两个不动点x1*, x2* ,一个稳定(吸引),另一个xn 0 物种逐渐灭亡x*=1-1/a 其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点 （周期
6、1点)例：a =1.5时 xn 1/3.不稳定，轨道xn趋向稳定点这两个数满足 当3a1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动, x2k-1 0.799455 x2k o.513045 当1+61/2a3.5440903506时, 从任意的点x0出 x4k 0.44391661 x4k+1 0.84768002x4k+2 0.44596756 x4k+3 0.85242774也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期例 a =3.2点失稳)发的轨道将逐渐沿着四个数值振动例 a = 3.45这四个数满足称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点若a再增大，周期4点又会失稳
7、，而产生新的稳定分叉值如何求? 又失稳)周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次， 会依次出现周期16点，周期32点. ，(请考虑什么 是周期n) 这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值c1=3, c2=1+61/2构成一个单调增加的数列ck. 其极限值为c*=3.569945557391。任务：求分叉值和画分叉图依赖于数值方法2浑沌的特点当c*a4时，Logistic映射进入混沌区域.反映出 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的的是：轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何一个子区间(a,b)内都会出现无数次. 敏感性： 轨道
8、表现出对初始条件的强烈敏感轨道也终将以某种方式分离. Feigenbaum常数任务：验证遍历性、敏感性 (ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趋于无穷时，趋于常数 q =4.6692016这常数的意义在于普适性，例如周期3窗口，还有周期3窗口的分叉、(结合Feigenbaum常数 ) 存在周期小窗口 混沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如a3.835附近其他映射任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代图象方法 蛛网迭代在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作抛物线弧：xn+1a xn(1- xn)的数值序列xn,从而也通过图象直观地看出由x0出发的轨道的变化. 这作图的过程颇
9、象蜘蛛织网,故称为蛛网迭代. 11 xnxn1x0x1x1x2 1a3 从(0,1)中 任何初值 出发的轨 道趋向不 动点 (周 期1点)3a61/2+1 从任何初值 出发的轨道 趋向周期2 点61/2+1a3.54409035 从任何初 值出发的 轨道趋向 周期4点 a=3.58轨 道进入浑沌 状态 a= 4 轨 道的浑沌 性表现充 分蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺 点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节 密度分布图 密度 从一个初始点 x0出发，由迭代所 产生的序列xn (n一般很大)在区间 0,1上的 概率分布密度. 具体算法 将0,1区间分成m个长度为 h=1/m的小区间，序列x
10、nnN=0 落在各个小区间 ih,(i+1)h的个数为ki,则该序列落在各小区间 的概率（即密度)为 pi=ki/N i=0,1,2,m 密度图 横轴为区间 0,1, 纵轴为概 率 p.每个小区间上的细柱线的高度等于该区 间上密度 a=3.2 (m=100 N=10000 x0= 0.1)(这是周期2情况) a=3.45(这是周期4情况) a=3.55(周期8的情况)以上密度图显示在 0ac*的情况下,xn只有 极少数落在周期点以外的小区间,而最终以几乎相 等的概率落在周期点所在的小区间。 a=3.6(进入浑沌区)(最浑沌状态) a= 4任务：用蛛网迭代的方法在计算机上作图, 考察Logstic映射在a逐步变化时由同 一点出发的轨道情况.任务：用密度图的方法在计算机上作图,考察Logstic映射在a逐步变化时由同一初值点出发的xn的分布.考察映射进一步的任务 试考察当a逐渐增大时,有没有倍周期分叉情 况出现?求出第一个分叉值和第二个分叉值利用Feigenbaum常数估计第三个分叉值和浑 沌可能在何时出现验证第三个分叉值 作出分叉图与Logistic映射的分叉图比较 作出蛛网迭代或密度分布图然后由1/2开始慢慢地增加其值, 用数值方 法和用密度图的方法考察由初始值出发的轨 道，能否看到倍周期分叉的情况? 考察帐篷映射先取
