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1、 概率论与数理统计 第十五讲北京工业大学应用数理学院数理统计学是一门应用性很强的学科。它研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有 随机性的数据，以便对所考察的问题作出正确 的推断和预测，为采取正确的决策和行动提供 依据和建议。数理统计不同于一般的资料统计，它更 侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料 的收集、整理和分析。第六章 样本与统计量6.1 引言由于大量随机现象必然呈现出其规律性， 因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多 次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚 地呈现出来。但是，客观上只允许我们对随机现象进行 次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得 的只能是局部的或有限的观察资料
2、。数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理和分析所获得的有限资料，并对所研究 的问题尽可能地给出精确而可靠的推断。现实世界中存在着形形色色的数据，分析 这些数据需要多种多样的方法。因此，数理统计中的方法和支持这些方法 的相应理论是相当丰富的。概括起来可以归纳 成两大类。参数估计: 根据数据，对分布中的未知参数 进行估计；假设检验: 根据数据，对分布的未知参数的 某种假设进行检验。参数估计与假设检验构成了统计推断的两 种基本形式，这两种推断渗透到了数理统计的 每个分支。6.2 总体与样本在数理统计中，称研究问题所涉及对象的 全体为总体，总体中的每个成员为个体。例如: 研究某工厂生产的某种产品的
3、废品 率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品 都是一个个体。6.2.1 总体、个体与样本实际上，我们真正关心的并不一定是总体 或个体本身，而真正关心的是总体或个体的某 项数量指标。如：某电子产品的使用寿命，某天的最高 气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。 因此，有时也将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全体。 为评价某种产品质量的好坏，通常的做法 是：从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品 进行观测(检测)，统计学上称这些样品为一个 样本。同样，我们也将样本的数量指标称为样本 。因此，今后当我们说到总体及样本时，既指 研究对象又指它们的某项数量指标。例1：研究某地区 N 个农户的年收
4、人。在这里，总体既指这 N 个农户，又指我们 所关心的 N个农户的数量指标他们的年收 入( N 个数字)。如果从这 N 个农户中随机地抽出 n 个农户 作为调查对象，那么，这 n 个农户以及他们的 数量指标年收入( n个数字)就是样本。注意：上例中的总体是直观的，看得见 、摸得着的。但是，客观情况并非总是这样 。例2：用一把尺子测量一件物体的长度。假定 n 次测量值分别为X1,X2 ,Xn。显 然，在该问题中，我们把测量值X1,X2 ,Xn 看成样本。但总体是什么呢?事实上，这里没有一个现实存在的个体的 集合可以作为上述问题的总体。可是，我们可 以这样考虑，既然 n 个测量值 X1,X2,Xn
5、 是 样本，那么，总体就应该理解为一切所有可能 的测量值的全体。又如：为研究某种安眠药的药效，让 n 个病人 同时服用这种药，记录服药者各自服药后的睡 眠时间比未服药时增加睡眠的小时数X1,X2,Xn，则这些数字就是样本。那么，什么是总体呢?设想让某个地区(或某国家，甚至全世界) 所有患失眠症的病人都服用此药，则他们所增 加睡眠的小时数之全体就是研究问题的总体。对一个总体，如果用X表示其数量指标， 那么，X的值对不同的个体就取不同的值。因 此，如果我们随机地抽取个体，则X的值也就 随着抽取个体的不同而不同。所以，X是一个随机变量!既然总体是随机变量X，自然就有其概率 分布。我们把X的分布称为总
6、体分布。总体的特性是由总体分布来刻画的。因此 ，常把总体和总体分布视为同义语。.6.2.2 总体分布例 3 (例 l 续)：在例 l中，若农户年收入以万 元计，假定 N户的收入X只取以下各值: 0.5, 0.8, l.0, 1.2和1.5。取上述值的户数分别n1, n2, n3, n4和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。则X为离散型 分布，分布律为:例4 ( 例2续 )：在例2中，假定物体真实长度为 (未知)。一般说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一些，而离 越远的值被取 到的概率就越小。如果测量过程没有系统性误差，则X取大 于 和小于 的概率也会相等。在这种情况下，人们往
7、往认为X 服从均值 为，方差为2 的正态分布。2反映了测量的 精度。于是，总体X的分布为 N(,2)。说明：这里有一个问题，即物体长度的测 量值总是在其真值 的附近，它不可能取负值 。而正态分布取值在(-,)上。那么，怎 么可以认为测量值X服从正态分布呢?回答这个问题，有如下两方面的理由。(1).在前面讲过，对于XN(,2)， P-30， 当样本大小 n 增大时，上面的概率也随之增 大；n 趋于无穷时，上式趋近于 1。任给c 0，总有例1：用机器向瓶子里灌装液体洗涤剂，规定 每瓶装 毫升。但实际灌装量总有一定波动。 假定灌装量的方差 2=1，如果每箱装这样的 洗涤剂 25 瓶。求这 25 瓶洗净剂的平均灌装量 与标定值 相差不超过0.3毫升的概率；又如果 每箱装50瓶时呢?解：记一箱中 25 瓶洗净剂灌装量为 X1,X2, X25 是来自均值为 , 方差为1的总体的随机样 本。根据抽样分布定理1，近似地有 当 n=50时，同样可算出：小结本讲首先介绍了样本与统计量的基本概 念，包括：总体、个体、样本、总体分布与 样本分布；然后介绍了统计量的概念和几个 常见的统计量：样本均值、方差、标准差、 k 阶原点矩和k 阶中心矩；最后介绍了抽样 分布的概念与抽样分布定理。
