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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复习、引入6.1 拉普拉斯变换的概念6.2 拉普拉斯变换的基本性质6.3 拉普拉斯逆变换6.4 卷积6.5 拉普拉斯变换的应用第8章 拉普拉斯变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Tran
2、sform8.1 拉普拉斯变换的概念 一.定义是一个复参量） 设函数 当 有定义,而且积分 在 的某一域内收敛,则由此积分所确定的函 数 （简称拉氏变换）记为 或称为 的拉普拉斯变换式复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform叫做的象函数.叫做的拉氏逆变换或象原函数,记为= 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换
3、复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform二.求法举例例1 求下列函数的拉普拉斯变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform解：(1)模有界复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral
4、 Transform（2）（3）两次分部积分复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 三.存在定理 若函数满足下列条件： 在的任一有限区间上连续或分段连续 , 的增长速度不超过某一指数函 数,亦即存在常数 当时, ,使得数，称它的增大是指数级的，c为它的增长指数 ).成立(满足此条件的函复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变
5、函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform则 的拉氏变换在半平面 上一定存在.此时右端的积分在上绝对收敛而且一致收敛.并且在半 平面 内， 为解析函数。 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例2 求单位脉冲函数 的拉氏变换。解：复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Tran
6、sform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform课堂练习复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform解：（1） 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Tran
7、sform本讲介绍拉氏变换的基本性质, 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c， 在证明性质时不再重述这些条件.8.2 拉普拉斯变换的基本性质复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例1 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换同理可得解：复变函数与积分变换复变函数
8、与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform2.微分性质:此性质可以将f (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.特别当 时，有复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例2 求 的拉氏变换（m为正整数）。复变函数与积分变换复变函数与积分变换 C
9、omplex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform象函数的微分性质:复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例3 求 (k为实数) 的拉氏变换.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函
10、数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform3. 积分性质:复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例4 求 的拉氏变换.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Tra
11、nsform象函数积分性质: 则复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例5 求函数的拉氏变换.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例6 求 的拉氏变换.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex An
12、alysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.而 f(t-t)是从t=t开始才有非零数值.即延迟了时间t.从图象讲,f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t 而得,其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例7 求函数的拉氏变换.1u(t-t)ttO复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例8 +=+sin33ln0ttteLdtttL
