变量间的相关关系

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1、 思考1：考察下列问题中两个变量之间的 关系： （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄； （4）圆的面积与半径； （5）匀速直线运动中的时间与路程。思考2：“名师出高徒”可以解释为教师 的水平越高，学生的水平就越高，那么 学生的学业成绩与教师的教学水平之间 的关系是函数关系吗？你能举出类似的 描述生活中两个变量之间的这种关系的 成语吗？思考3：上述两个变量之间的关系是一种 非确定性关系，称之为相关关系相关关系，那么 相关关系的含义如何？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系，叫 做相关关系.自变量取值一定时,因变

2、量的取 值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.变量间相关关系的概念:相同点:两者均是指两个变量间的关系. 不同点: 函数关系是一种确定的关系;相关关系是一种非确定 的关系. 函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果 关系,也可能是伴随关系.相关关系与函数关系的异同点:1.下列关系中,是带有随机性相关关系的是 . 正方形的边长与面积的关系;水稻产量与施肥量之间的关系 ;人的身高与年龄之间的关系;降雪量与交通事故发生之间 的关系.即学即练:2. 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ） A角度和它的余弦值 B. 正方形边长和面积 C正边形的边数和它的内角和 D. 人的年龄和

3、身高D.年龄脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年龄脂肪5833.56035.26134.6如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系吗？探究散点图：将各数据在平面坐标系中的对应点画出来，得到表示 两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图。如下图：由散点图支持了我们从数据表中得出如下结论：a. 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用 该函数来描述变量之间的关系。b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变 量之间就有相关关系。c.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变

4、量之 间就有线性相关关系。从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：如高原含氧量与海拔高 度的相关关系，海平面以上 ，海拔高度越高，含氧量越 少。作出散点图发现，它们散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程，称它们成负相关.O 510 15 20 2530 35气温y102030405060- 5就是两个线性关系，它们相关程度也有区别，此 时描述它们相关程度的r定义为：这个数值r称为 与x的样本相关系数，简称相关系数 当r 0时， 与x正相关；当r 0

5、时， 与x负相关 可以证明r1r越接近1，线性相关程度 越高；r越接近于0，线性相关程度越低超级链接例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：ABCDE 数学8075706560 物理7066686462画出散点图，并判断它们是否有相关关系。数学成绩解：由散点图可见，两者之间具有正相关关系。例2：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图；(2)从散点图中发

6、现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律；解: (1)散点图(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。温度热饮杯数 从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康。 但是除了吸烟之外还有许多其他的随机因素影响身 体健康，人体健康是由很多因素共同作用的结果， 我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸 烟而引发的患病者，吸烟与健康是一种相关关系， 所以吸烟不一定引起健康问题。有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害 健康”的警示语。吸烟是否一定会引起健康问题？你 认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸 烟”的说法对吗？ 但吸烟引起健康问题的可能性大，因此“健康问题 不

7、一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法 是不对的。练习： 从已经掌握的知识来看，没有发现根据说明“天鹅能够 带来孩子”，完全可能存在既能吸引天鹅又使婴儿出生 率高的第三个因素（例如独特的环境因素），即天鹅 与婴儿出生率之间没有直接的关系，因此 “天鹅能够带 来孩子”的结论不可靠。某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人统计发现 了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个 村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低。于是 ，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子。你认为这样得到 的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？ 而要证实此结论是否可靠，可以通过试验来进行。相 同的环境下将居民随

8、机地分为两组，一组居民和天鹅 一起生活（比如家中都饲养天鹅），而另一组居民的 附近不让天鹅活动，对比两组居民的出生率是否相同 。：在寻找变量之间相关关系的过程中，统计 同样发挥着非常重要的作用。因为上面提到的 这种关系，并不像匀速直线运动中时间与路程 的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性 。这就需要通过收集大量的数据（有时通过调 查，有时通过实验），在对数据进行统计分析 的基础上，发现其中的规律，才能对他们之间 的关系作出判断。小结回归直线回归直线求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表 ; 第二步：计算 ; 第三步：代入公式计算b,a的值；第四步：写出直线方程。例1：观察两相关变量得如下表

9、：x-5 -4 -3 -2 -113245 y-9 -7 -5 -3 -115379求两变量间的回归方程 解：列表：i12345678910 -5-4-3-2-113245 -9-7-5-3-115379 4528156111562845计算得:所求回归直线方程为 y= x例2：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图； (2)从散点图中发现气温与热饮

10、销售杯数之间关系的一 般规律；(3)求回归方程； (4)如果某天的气温是 C,预测这天卖出的热饮杯数。解: (1)散点图(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。温度热饮杯数(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直 线附近。Y=-2.352x+147.767（4）当 x = 2时，y =143.063,因此，这天大约可 以卖出143杯热饮。设（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn ）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些 样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线 （如图），以下结论中正确的是（ ） A、x和y的相关系数为直线l的斜率 B、x和y的相关系数在0到1之间 C、当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D、直线l过点D某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元） 4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模 型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A、63.6万元 B、65.5万元 C、67.7万元 D、72.0万元 B