《【数学】天津市2015届高三第四次月考试题（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】天津市2015届高三第四次月考试题（理）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1ABCMPQ天津市南开中学 2015 届高三第四次月考试题（理）I 卷一、选择题（每小题有且只有 1 个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题 5分，共 40 分 ）1.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 25731v ttt（t的单位：s，v的单位：/m s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是( ).A. 125ln5 B. 11825ln3 C. 425ln5 D. 450ln22.若9 21xaxaR的展开式中9x的系数是21 2，则 0sinaxdx的值为 ( ).A. 1 cos2B. 2cos1C. cos2 1D. 1cos23.
2、已知数列 na的前n项和为nS，首项12 3a ，且满足12nn nSaS2n ，则2015S等于 ( ).A. 2013 2014 B. 2014 2015 C. 2015 2016 D. 2016 20174.若0,，,4 4 ，R，且3 cos202，34sincos0，则cos2的值为 ( ).A. 0 B. 1 2C. 2 2D. 3 25.关于x的方程320xaxbxc的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则1 1b a 的取值范围是 ( ).A. 2,0 B. 0,2 C. 1,0 D. 0,16.如图，在ABC中，2CMMB ，过点M的直线分别交射线,AB
3、 AC于不同的两点,P Q，若APmAB ，AQnAC ，则 1m n的最小值为( ).A.6 3 B. 2 3 2C.6 D. 27.函数 1 |1|,0,212 ,2,2xx f x f xx ，则下列命题中正确命题的个数是 ( ).函数 ln1yf xx有3个零点；若0x 时，函数 kf xx恒成立，则实数k的取值范围是3,2；函数 f x的极大值中一定存在最小值； 22kf xf xkAkN，对一切0,x恒成立.A. 1 B. 2 C. 3 D.4 8.已知不等式22272abmmab对任意正数, a b都成立，则实数m的取值范围是 ( ).A.3,2B. 2,3C. 1,2 D. 1
4、,4II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效)二、 填空题：(每小题 5 分，共 30 分)9.已知复数2iz （i是虚数单位） ，则1 3i z的虚部为 _.10. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C：2sin8cos与直线l：12,2 3,2xtyt （t为参数）相交于,P Q两点，则|PQ= _.11. 如图，已知PA与OA相切，A为切点，过点P的割线交OA于,B C两点，弦/ /CDAP，,AD BC相交于点E，点F为CE上一点，且PEDF ，若:3:2CE BE ，3DE ，2EF ，则PA _.12. 已知实数, x y满足1,
5、1, 5,x y xy 时，xyzab0ab的最大值为1，则ab的最小值为 _.13. 已知定义域是R的偶函数 f x在30,上单调递增，若1,12x时，不等式271log 7 log2fxaf x恒成立，则实数a的取值范围是 _.14. 已知函数 2,01,02xkxxf xx ，若函数 3 2yff x有且只有3个零点，则实数k的取值范围是 _.三、解答题：(1518 每小题 13 分，1920 每小题 14 分，共 80 分)15. 设 4sinsincos63f xxxx.()求函数 f x的最小正周期和单调递减区间； ()若锐角ABC中，, ,A B C的对边分别为, , ,a b
6、c且 2fA ，2a ，6b ，求角C及边c.16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观.在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A区，3个场馆分布在B区，3个场馆分布在C区已知A区的每个场馆的排队时间为2小时，B区和C区的每个场馆的排队时间为1小时. 参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观.()求小红每个区都参观1个场馆的概率；() 设小红排队时间总和为X（小时），求随机变量X的分布列和数学期望 E X17. 如图:已知矩形11BBC C所在平面与底面1ABB N垂直,直角梯形1ABB N中AN/1BB,ABAN，2CBBAAN,14BB .（）求证
7、：BN11C B N 平面；（）求二面角11CC NB的正弦值；4（）在BC边上找一点P，使1B PCN与所成角的余弦值为5 51 51,并求线段1B P的长.18. 已知正项数列 na， nb满足：对任意正整数n，都有na，nb，1na成等差数列，nb，1na，1nb成等比数列，且110a ，215a ()求证：数列 nb是等差数列；()求数列 na， nb的通项公式；()设nS=11 a+21 a+na1，如果对任意的正整数n，不等式22n n nbaSa恒成立，求实数a的取值范围19. 已知抛物线24 2yx的焦点为椭圆22221xy ab0ab的右焦点,且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别
8、为A，B. 经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D两点.（）求椭圆标准方程；（）记ABD与ABC的面积分别为1S和2S，且12| 2SS，求直线l的方程；（）若1122,M x yN xy是椭圆上的两动点，且满足022121yyxx，动点P满足2OPOMON （其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程.20. 设函数 1 exf x （）证明：当1x 时， 1xf xx；（）设当0x 时， 1xf xax，求实数a的取值范围5参考答案参考答案一、选择题：一、选择题：1 12 23 34 45 56 67 78 8CADCADBB二、填空题：二、填空题：9 91010111112121313141
9、4132 315 3 4101,14 11,24三、解答题：三、解答题：15.15. 设 4sinsincos63f xxxx.()求函数 f x的最小正周期和单调递减区间； ()若锐角ABC中，, ,A B C的对边分别为, , ,a b c且 2fA ，2a ，6b ，求角C及边c.解：() 4sinsincos633113sinsincoscossin2222sincos2sin4f xxxxxxxxxxxx f x的最小正周期2T.由322242kxkkZ解得52244kxkkZ，故 f x的单调递减区间是52,244kkkZ.() 在锐角ABC中， 2fA ，2sin24A，即sin
10、14A.由02A，得4A.62a ，6b ，由正弦定理sinsinab AB，得sin3sin2bABa.由02B，得3B.故5 4312CAB.由余弦定理，2225622cos462 26 cos104 642 3124cababC ，故31c .16.16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观.在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A区，3个场馆分布在B区，3个场馆分布在C区已知A区的每个场馆的排队时间为2小时，B区和C区的每个场馆的排队时间为1小时. 参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观.()求小红每个区都参观1个场馆的概率；() 设小红排队
11、时间总和为X（小时），求随机变量X的分布列和数学期望 E X解：()从10个场馆中选三个，基本事件的总数为3 10120C个，小红每个区都参观一个场馆的事件包含的基本事件数为111 43336C C C ，故小红每个区都参观1个场馆的概率为363 12010.（）X的取值可能是3, 4,5, 6，分别对应没有事件参观A区场馆，参观一个A区场馆，参观两个A区场馆，参观三个A区场馆，312 333 3 102C21(3)C6C CP X， 12 46 3 10C C1(4)C2P X ，21 46 3 10C C3(5)C10P X ， 3 4 3 10C1(6)C30P X 所以X的分布列为：X
12、3456P1 61 23 101 30 11312134566210305E X 17.17. 如图:已知矩形11BBC C所在平面与底面1ABB N垂直,直角梯形1ABB N中7AN/1BB,ABAN，2CBBAAN,14BB .（）求证：BN11C B N 平面；（）求二面角11CC NB的正弦值；（）在BC边上找一点P，使1B PCN与所成角的余弦值为5 51 51,并求线段1B P的长.（）证明矩形11BBCC所在平面与底面1ABB N垂直，则1CBABB N 底面AN/1BB,ABAN，则1ABBB，则知112,2,00,4,20,4,00,0,2NCBC，,1440B N BN ,
13、则111B NBNBNBC，且1111B NBCB，则11BNC B N 平面. （）11, ,C B Nmx y z 设平面法向量为， (2,2,0)BN 设2BNm ,则求得(1,1,0)m . 设二面角11CC NB的平面角为，1, ,C CNnx y z 设平面法向量为， 则1CC0,C0nnN ，由0 0y xz .得(1,0,1)n |1cos2|m n m n ，3sin2.（）设), 0 , 0(aP为BC上一点，则1(0, 4, )B Pa ，(2,2, 2)CN 则有115 51 51B P CNB PCN ，则217160aa,解得1a .(0,0,1)P，则线段1B P的长度为17.18.18. 已知正项数列 na， nb满足：对任意正整
