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1、第二章 数字系统l2.1 引言l2.2 位置化数字系统2.1 引言数字系统：定义了如何用独特的符号来表示一个数字。 不同的系统中，数字有不同的表示方法数字系统位置化系统非位置化系统主要讨论位置化系统。2.2 位置化数字系统 数制 数制也称为进位计数制。是指用一组固定的符号 和统一的规则来表示数值的方法。该数制系统中 的符号被称为数码。 基数 数制所用到的数字符号个数。 基数简称“基”或“底”。常用字母R表示。 如十进制数制，可用“0，1，2，9”，10个 符号来表示，基数为10，即R=10。 位权 一个数码处在不同位置所代表的值不同。每个数 码所表示的数值等于该数码乘以一个与数码所在 位置相关
2、的常数，这个常数叫做位权。 位权的大小：以基数为底、数码所在位置的序号 为指数的整数次幂。 例如：219=2102+1101+9100 常用的数制 十进制符合人们习惯。 二进制计算机内部表示和存储数据，便于物 理实现。 十六进制、八进制便于书写，与二进制转换 。 常用的数制表示方法 下标法 字母法 下标法 用小括号将要表示的数括起来，然后在右括号外的 右下角写上数制的基数R。 一般我们用（ ）角标表示不同进制的数据。 如：十进制数用（ ）10表示，二进制数用（ ）2表示（1056.78）10 表示1056.78是十进制数（756）8 表示756是八进制数（1101.0101）2 表示1101.
3、0101是二进制数 字母法 在计算机中，在数字后加字母表示不同进制数据 。 其中：B二进制D十进制O八进制H十六进制 如： 1011.01B，678H，156D R2 二进制数码个数:2个计数规律:例：0,1逢二进 1,借一当 2(11011.01)2 = 124+123 +022+121+120 +02-1 +12-22. 采用二进制的原因 （1）易于物理实现 电子元件双稳工作的特点 只有两个数字0和1，可表示两个不同的稳定的 物理状态。 （2）二进制数运算简单 二进制数的运算规则简单，使计算机运算器的 结构、逻辑线路的设计大大简化。 （3）机器可靠性高 使用二进制数只有两个状态，数字的传输
4、和处 理不容易出错，计算机工作可靠性高。 （4）通用性强 由于二进制数只有0和1两个数，可以代表逻辑 代数中的“真”和“假”，因而，逻辑代数能 够成为计算机设计的数学基础。2. R8 八进制数码个数:8个计数规律:例：0,1,2,3,4,5,6,7逢八进 1,借一当 八(176.5)8 = 182+781 +680 +58-13. R16 十六进制数码个数:16个计数规律:例：逢十六进 1,借一当 160,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F(0 10 15)(FA1.C)16 = F162+A161 +1160 +C16-1 二进制与十进制、八进制、十六进制之间的转换十
5、进制数二进制数八进制数十六进制数000011112102231133410044510155611066711177 二进制与十进制、八进制、十六进制之间的转换十进制数二进制数八进制数十六进制数81000 10891001 119101010 12A（10）111011 13B（11）121100 14C（12）131101 15D（13）141110 16E（14）151111 17F（15） 几种进位计数制的表示和运算规则 进位计数制的表示方法 对于任意的 R 进制数 位置计数法（N）R=an-1an-2 a1a0.a-1 a-m按权展开法（N）R=an-1Rn-1+an-2Rn-2+ +
6、a1R1+a0R0+a-1R-1+ +a-mR-m(其中n为整数位数，m为小数位数，R为基数 ) 进位计数制的表示方法 如，十进制数 （34958.34）10=3104+4103+9102+5101+8100+310-1+410-2二进制数 （100101.01）2=125+024+023+122+021+120+02-1+12-2 和式二、 其他进制其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，对任意进制 R，数N可以表示成按权展开式。(N) R=(an-1 an-2 a1 a0. a-1 a-2 a-m)R(N)R = an-1R n-1+an-2R n-2 + a1R1+a0R0+a-1
7、 R-1+a-2R-2+a-mR-m按权展开式：2.2.6 数制之间的转换 二进制转十进制 方法：用十进制计数制把二进制数各位置的数按 权展开后相加。 例2-1 求(1001.101)2的十进制数值。解：(1001.101)2 = 123+022+021+120+12-1+02-2+12-3= 8+1+0.5+0.125=(9.625)10 十进制转二进制 方法: 整数部分：除以2取余，至商为零；所得的余数 倒序排列。 小数部分：乘以2取整，达到精度为止；乘积的 整数部分顺序排列。求(19)10的二进制数值。 解:因此，(19)10 = (10011)222 2 2 2194 2 1011 0
8、 0 1余数低位高位90.6 8 7 5 整数部分 2 1(K-1) 1.3 7 5 0 20(K-2) 0.7 5 0 0 21(K-3) 1.5 0 0 0 21(K-4) 1.0 0 0 0 高位低位十进制小数转二进制小数 例2-3 求(0.6875)10的二进制数值。 十进制小数转二进制小数 十进制小数转换为二进制小数过程中，有时会出 现乘积的小数部分总不等于0的情况，或者出现 循环小数的情况 如：(0.2)10 =( 0.001100110011)2 这样的情况下，乘2过程的结束由所要求的转换 精度确定。 一般当要求二进制数取m位小数时，可求出m+1位 ，然后对最低位作0舍1入处理。
9、 十进制小数转二进制小数 例2-4 求(0.323)10的二进制数值。（保留4位小 数） 解:因此，(0.323)10 = (0.0101)2 1.2 9 2 0.6 4 60.3 2 3 2 20.5 8 4 1.1 6 8 2 20.3 3 6 2高位低位 十进制数转二进制数 例2-5 将(237.625)10转换成二进制数。 解:则，(237.625)10 = (11101101.101)21 0 1 1 0 1 1 15911823729 14 7 3 12 2 2 2 2 2 2 2 0整数除2取余小数乘2取整 0.6251.250 0.250.501.0 222101 R进制转十进
10、制 方法：用十进制计数制把R进制数各位置的数按 权展开后相加。 练:将下列数转换成十进制数。(1011)2 (237)8 (AB2)16 十进制数转R进制数 整数部分：除以R取余，至商为零；所得的余 数倒序排列。 小数部分：乘以R取整，达到精度为止；乘积 的整数部分顺序排列。 练:(保留位小数)(12.5)10=( )2(72.8)10=( )8(12.13)10=( )16 二进制和八进制转换 转换原则：每三位二进制对应一位八进制数。 二进制转八进制 “三位一并”法 方法：从小数点开始分别往两边，整数部分自右 向左，小数部分自左向右，按每三位为一组，不 足三位用0补齐，每组用相应的八进制数写
11、出。 八进制转二进制 “一分为三”法 方法：每位八进制数用三位二进制数代替。 二进制转八进制 例2-6 将（10110101110.11011）2转换为八进制 数。则（10110101110.11011）2（2656.66）8010 110 101 110.110 1102 6 5 6 . 6 6 八进制转二进制 例2-7 将（6237.431）8转换为二进制数。则（6237.431）8（110010011111.100011001）2110 010 011 111 .100 011 0016 2 3 7 . 4 3 1 二进制和十六进制转换 转换原则：每四位二进制对应一位十六进制数。 二进制
12、转十六进制 “四位一并”法 方法：从小数点开始分别往两边，整数部分自右 向左，小数部分自左向右，按每四位为一组，不 足四位用0补齐，每组用相应的十六进制数写出 。 十六进制转二进制 “一分为四”法 方法：每位十六进制数用四位二进制数代替。 二进制转十六进制 例2-8 将（1001010111.110110111）2转换为十 六进制数。则（1001010111.110110111）2（257.DB8）16 0010 0101 0111.1101 1011 10002 5 7 . D B 8 十六进制转二进制 例2-9 将（3CB.61）16转换为二进制数。则（3CB.61）16（1111001011.01100001）2 0011 1100 1011.0110 00013 C B . 6 1课堂练习：1. （1101101.01）2=（ ？）82. （1101101.01）2 =（ ？）163. (54A.69) 16 = ( ? ) 24. (54A.69) 16 = ( ? ) 8本章小结l理解数字系统的概念l重点掌握数制及数制之间的转换
