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1、信号与系统西安邮电大学第3-1页电子教案第三章 离散系统的时域分析第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应 3.2 单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应二、阶跃响应 3.3 卷积和一、序列分解与卷积和二、卷积的图解三、不进位乘法四、卷积和的性质注意离散系统与连 续系统分析方法上的 联系、区别、对比， 与连续系统有并行的 相似性。信号与系统西安邮电大学第3-2页电子教案3.1 LTI离散系统的响应3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程设有序列f (k)，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)， f(
2、k-2)等称为f(k)的移位序列。仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。1. 差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：信号与系统西安邮电大学第3-3页电子教案3.1 LTI离散系统的响应（1）一阶前向差分：f(k) = f(k+1) f(k) （2）一阶后向差分：f(k) = f(k) f(k 1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差 分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分：2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1)= f(k)f(k-1) f(k-1)
3、 f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分:mf(k) = f(k) + b1 f(k-1) + bm f(k-m)定义：信号与系统西安邮电大学第3-4页电子教案3.1 LTI离散系统的响应2. 差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称 为差分方程。将差分展开为移位序列，得n阶差 分方程一般形式差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。y(k) + an-1 y(k-1) + a0 y(k-n) = bm f(k)+ b0 f(k-m)信号与系统西安邮电大学第3-5页电子教案3.1 LTI离散系统的响应例1：若
4、描述某LTI系统的差分方程为y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)=2，激励f(k)=2k (k)，求y(k)。 解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k)k=2 y(2) = 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2k=3 y(3) = 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 k=4 y(4) = 3y(3) 2y(2) + f(4) = 10 易懂但一般不易得到解析形式的(闭合)解。 信号与系统西安邮电大学第3-6页电子教案3.1 LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解y(k) + an-1y(
5、k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似：y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解yh(k) 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 特征方程 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 即 n + an-1 n 1 + + a0 = 0 其根 i( i = 1，2，n)称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根。 当特征根为单根时， yh(k)形式： C k 当特征根为2重根时，yh(k)形式： (C1k+ C0) k 信号与系统西安邮电大学第3-7页电子教案3.1 LTI离散系统
6、的响应激励f(k)响应y(k)的特解yp(k)F (常数)P (常数)cos( k)或sin( k)2. 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式类似 (r1) 信号与系统西安邮电大学第3-8页电子教案例2：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励f(k)=2k，k0。 求方程的全解。 解：特征方程为 2 + 4 + 4=0；特征根1= 2= 2齐次解： yh(k)=(C1k +C0) ( 2)k3.1 LTI离散系统的响应特解为 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程：P(2)k + 4P
7、(2)k 1 + 4P(2)k2 = f(k) = 2k ， 解得：P=1/4 特解：yp(k)=2k2 , k0全解为： y(k)= yh+yp = (C1k +C0) ( 2)k + 2k2, k0 代入初始条件解得： C1=1 , C0= 1/4 信号与系统西安邮电大学第3-9页电子教案3.1 LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应y(k) = yzi(k) + yzs(k) 当激励分解为外部激励和内部状态时完全响应= 零输入响应+零状态响应y(j) = yzi(j) + yzs(j) , j = 0, 1 , 2, , n 1设激励f (k)在k=0时接入系统，通常以y(1),
8、 y(2) , ，y(n)描述系统的初始状态。yzs(1) = yzs(2) = = yzs(n) = 0所以 y(1)= yzi(1)，y(2)= yzi(2)，y(n)= yzi(n)利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应初始值 yzi(j)和yzs(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1)信号与系统西安邮电大学第3-10页电子教案3.1 LTI离散系统的响应例3：某LTI离散系统的差分方程 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k0，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1
9、）零输入响应yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k 1)+ 2yzi(k 2)= 0其初始状态 yzi(1)= y(1)= 0, yzi(2) = y(2) = 1/2首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1) yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2)yzi(0)= 3yzi(1) 2yzi(2)= 1 yzi(1)= 3yzi(0) 2yzi(1)= 3信号与系统西安邮电大学第3-11页电子教案3.1 LTI离散系统的响应方程的特征根: 1= 1 ，2= 2 ， 其解为: yzi(k)=Czi1( 1) k + Czi2(2)k 将初始值代入，解得 Czi1=
10、1 , Czi2= 2所以： yzi(k)=( 1)k 2( 2)k , k0（2）零状态响应yzs(k) 满足yzs(k) + 3yzs(k 1) + 2yzs(k 2) = f(k)=2k , k0 初始状态 yzs(1)= yzs(2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)，yzs(k) = 3yzs(k 1) 2yzs(k 2) + 2k , k0yzs(0) = 3yzs(1) 2yzs(2) + 1 = 1yzs(1) = 3yzs(0) 2yzs(1) + 2 = 1信号与系统西安邮电大学第3-12页电子教案3.1 LTI离散系统的响应分别求齐次解和特解，得yzs(
11、k) = Czs1(1)k + Czs2(2)k + yp(k)= Czs1( 1)k + Czs2( 2)k + (1/3)2k代入初始值求得: Czs1= 1/3 , Czs2=1 yzs(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0 (3) 全响应： y(k) = yzi(k) + yzs(k) y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)P2k信号与系统西安邮电大学第3-13页电子教案3.2 单位序列响应和阶跃响应3.2 单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应由单位序列 (k)所引起的零状态响应称为单位序 列响应或单位样值响应，或简称单位响应，记
12、为h(k) 。h(k)=T0, (k) 重点考虑两个基本信号 (k), (k)引起的零状态响应 ,称为单位序列响应和单位阶跃响应，既反映了系统的 本质特性，又可以帮助求解任意信号引起的零状态响应 .信号与系统西安邮电大学第3-14页电子教案3.2 单位序列响应和阶跃响应根据差分方程求单位序列响应例1 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。 解 根据h(k)的定义 有h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) (1)h(1) = h(2) = 0 （1）递推求初始值h(0)和h(1) 将方程(1)移项为 h(k)= h(k
13、1) + 2h(k 2) + (k)h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1 信号与系统西安邮电大学第3-15页电子教案3.2 单位序列响应和阶跃响应(2) 求h(k) 对于k 0， h(k)满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0特征方程 ( +1) ( 2) = 0所以 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0h(0) = C1 + C2 =1 h(1)= C1+2C2 = 1 注意：这时已将h(0)的值代入，因而方程的解也满足k=0。 解得 C1= 1/3 , C2=2/3h(k
14、) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0或 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k) 信号与系统西安邮电大学第3-16页电子教案3.2 单位序列响应和阶跃响应例2：若方程为：y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2)求单位序列响应h(k) 解： h(k)满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)= (k) (k 2) 因为包含 (k 2)，因而不能认为k0时输入为零。可 根据线性系统的叠加特性求解。 令只有 (k)作用时,系统的单位序列响应h1(k) ,它满足h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)= (k) 初始状态 h1(-1) =h1(2)=0; 令只有 (k-2)作用时,系统的单位序列响应h2(k) ,它满足h2(k) h2(k 1) 2h2(k 2)= (k 2)初始状态 h2(0) =h2(1)=0;信号与系统西安邮电大学第3-17页电子教案3.2 单位序列响应和阶跃响应根据线性时不变性，h(k) = h1(k) +h2(k)h2(k)= h1(k 2) h(k) = h1(k) h1(k 2) =(1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k)
