计算力学课堂教学课件第2章-3

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1、*中国矿业大学中国矿业大学 xxxxxx2.3 广义坐标有限元法的 一般格式常见的单元类型：2.3.1 选择单元位移函数的一般原则 （1）位移模式中的待定系数（广义坐标）个数 ，应与单元的结点位移数相等；（2.2.1）（2）位移模式中，常数项 与一次项必须完备； （3）多项式选取由低次到高次，且尽可能选取 完全的多项式，以提高单元的精度；如：一次 二次三次四次0 次Pascal 三角形（4）当由于项数限制，不能选取取完全多项式时，应考 虑多项式应具有对称性，如：4节点 矩形单元2.3.2 广义坐标有限单元的一般格式 （1）以广义坐标 为待定参数，给出单元内位移 分布 u ；（2.3.1） 对于

2、二维问题：对于3结点三角形单元：3节点 三角形单元123n2用单元结点位移 表示广义坐标 惯用的单元结点位移排列是 为便于求解广义坐标，可采用另一表示方法，如 （231）式中代入单元结点坐标得到 二维问题 用（232）式解出 n3以单元结点位移ae 表示单元位移函数u， 得到单元插值函数矩阵N将（233）式代 入（23l）式 二维问题 将结点位移 改为一般排列顺序ae ，则有 n4以单元结点位移ae 表示单元应变和应力应 变： 应力：由弹性变形产生的应力 当有初应力和初应变时，应力的一般式是 n5用最小位能原理建立离散体系的结点 平衡方程n系统总位能的离散形式 将（235）（237）式代入上式

3、并 将单元结点位移ae用结构结点位移a表示， 即ae=Ga，（238）式即为 n总位能的变分 得到有限元求解方程 其中 式（2312）是单元刚度矩阵的普遍公 式 （239）式中的是作用在连续体边界上 的力，包括作用在有关单元边界上的分布力 和作用在结点上的集中力两部分。 为了方便起见可以将这两部分外载分开， 将T作为分布面力，结点集中力用F表示，则 载荷列阵P可以写作PF 结点集中力列阵 （2314）式是计算单元等效结点载 荷列阵的普遍公式。n6引入强制边界条件n7解方程得到结点位移n8进行需要的辅助计算n如利用（236）、（237）式计算 单元应变和应力，也可按需要计算其他项 目。n由上面过

4、程可以看到：n13是假定位移模式、求解广义坐标，最后 得到单元插值函数。这三步是广义坐标有限 元的特征。n45是利用变分原理建立有限元格式的一般 方法。这里用的是最小位能原理，建立以位 移为基本场变量的有限元求解方程，求解平 衡问题。n68是建立有限元方程后的一般解法和计算 步骤。n广义坐标有限元可能产生的困难是：n当位移函数选择不恰当时，可能不存在A-1 而使求解广义坐标成为不可能。n同时，当单元结点较多时，解广义坐标的 过程显得繁琐，因此也可以利用自然坐标 直接构造单元的插值函数，这样就可以避 免求解广义坐标的过程，建立有限元的方 程和求解只需从第4步开始。n本章第5节将结合矩形单元和高精

5、度三角形 单元讨论直接建立单元插值函数的方法， 关于建立单元插值函数更系统方法将在下 一章中给出。2.4 有限单元解的性质与收敛性一. Ritz法的收敛准则对连续介质问题，有泛函：其中:要求试函数必须满足：完备的函数系列（完备性）应满足连续性要求（协调性）1）2）Ritz 法的收敛条件：（1）近似函数 u 具有完备性 （2）试探函数 u 具有连续性（取完全多项式）（C0 类连续） FEM 法与Ritz 法的区别：Ritz 法在全域上假设近似函数 u，FEM 法在单元上假设近似函数 u，近似函数 u可以有多种类型。近似函数 u一般都为简单多项式。问题：在什么条件下，当单元尺寸趋于零时， FEM

6、法的解趋于精确解？引例：设一标量场：存在标量泛函：假设泛函 中含有：为非零的，则近似函数 至少为 m 次多项式，即（2.4.3）显然，仅当 pm 时，各项都包含常数项，意味着，当单元尺寸趋各项趋于常数，即， 有限元法的近似解收敛于精确解。于零时，收敛条件1：必须是m次以上的完备多项式； 收敛条件2：仅可能在相邻单元边界上连续。弹性力学问题中，有限元法的收敛准则：准则1： 完备性要求若泛函p中含有未知函数的最高阶导数为 m 阶，则未知函数至少是 m 次完全多项式。p中含：要求：为 x、y、z 一次完全多项式对于平面问题：对于空间问题：对于梁的弯曲问题？ 最高阶导数次数 m=1弹性力学问题：准则2

7、：协调性要求若泛函p中含有未知函数的最高阶导数 为 m 阶，则要求未知函数在相邻单元交界面 上须满足 Cm-1 类连续性，即保证交界面上未 知函数 m1 阶的连续可导。当单元的插值函数满足上述要求时，称这 种单元是协调的。对弹性力学问题， 泛函p中含有未知函数故要求近似位移函数 u对于3结点三角形单元：满足协调条件的最高阶导数为 1 阶，在相邻单元交界面上须满足 C0 类连续性。总结：同时满足完备性、协调性条件的单元 称为协调单元（3结点三角形单元为完备、协调单元 ）完备、协调单元的解一定收敛于精确解。不满足协调性条件的单元称为非 协调单元如：板壳问题中某些单元。二. 在有限元法中，插值函数（

8、试函数）对 应单元内，而不是全域。插值函数一般选用多项式以满足其完备 性要求当单元尺寸0 时，精确值（即趋于常数）这里插值函数至少应选用m次完备的多项式位移模式必须能够反映单元的刚体位移。位移包括两部分，一部分是变形引起的，另 一部分是由于刚体位移引起的。位移模式必须能够反映单元的常应变。一部分与该单元中各点的位置坐标有关， 是各点不同的，即变量应变。另一部分与单元中各点的位置坐标无关。是 各点相同的，即常量应变。位移场应当能够反映连续弹性体系位移的连 续性。在单元内位移模式取坐标的单值连续函数， 在公共边界上（单元间）具有相同的位移。C0连续性要求，由于m=1 ，即要求m-1 阶 连续，即场

9、函数自身连续。物理意义：位移场在单元交界面连续， 否则单元交界面会引起无限大应变。（ 由此产生附加应变能）很明显：3结点三角形有限元，满足上述 二条件，是收敛的。但在实际计算中，因 为是有限尺寸单元，所以存在离散误差。（*）一般来讲位移元得到的是位移的下 限解，所以连续体(无限多自由度) 离散有限个自由度，刚性变大，位移变小。2.4.2 收敛准则的物理意义1. 完备性准则要求位移函数为一次完全多项式常数项：一次项： 反映刚体位移 反映常应变 2. 协调性准则要求位移函数在相邻单元边界上连续， 避免在单元交界面产生无限大的应变能。2.4.3 收敛速度与精度估计三. 离散误差估计精确解可以在域内一

10、点i 的某一邻域内泰勒 展开：如果：单元(特征尺寸h)内位移插值函 数是p次完全多项式 , 则可局部拟合泰 勒展开p阶.x, y为h 量级，位移的误差约为应力和应变（为位移的一阶导数）则误差约为，精度低于位移。例： 3结点三角形单元位移误差应力误差（应变）提高精度的方法：(1) 单元尺寸变小,(2) 插值函数，完备的多项式次数提高。由其他误差:计算误差，包括截断误差，舍入误差.提高精度的方法:(1) 增长字长(双精度)(2) 选取有效的计算方法和合理的程序结构。2.4.4 位移解的下限性质 位移有限元法基于最小位能原理：由第1章讨论，可知：变形位能（应变能）设有限元解的总位能、应变能、刚度矩阵

11、、 结点位移向量为：由最小位能原理，有即：由即，精确解取近似解的下限。位移解下限性质解释：单元原是连续体的一部分，具有无限个 自由度。假定单元的位移函数后，其自度 数限制为只有以结点位移表示的有限个自 由度，相当于对单元的变形施加了约束和 限制，使单元的刚度较实际情况加强了， 随之，整个连续体的刚度增加了，故求得 的位移总体上小精确解。2.5 矩形单元和高精度三角形单 元2.5.1 4 结点矩形单元 2314aabb设:边长分别为2a 和2b。取坐标原点在单元形心上，x 、y轴分别平行两对对边。2.5.1 4 结点矩形单元 1. 结点编号与单元结点位移向量结点编号：逆时针转向为正单元结点位移向

12、量： 8个自由度2314aabb（2.5.2）2. 单元位移模式 双线性位移模式 将结点的 x 方向位移与坐标代入一次 二次三次四次0 次Pascal 三角形位移多项式：位移模式是具有完全一次式， 非完全二次式。因为它在x, y方向呈线形变化，所以称之为双线形位移模式。2314aabb由此可解出：其中： 单元插值 函数或形函数（2.5.4）2314aabb令：则有（2.5.5） 局部坐标表示的单元插值函数或形函数 自然坐标或局部坐标3. 自然坐标与插值函数（1）自然（局部） 坐标2314aabb由 ：有 ： （1）（2）矩形单元四边的方程为：（3）角点值（坐标）2314aabbxy一般情形，将

13、自然坐 标原点取在单元的重心 上，整体坐标与自然坐 标的关系为：（2.5.6）（2）插值函数（形函 数）Ni 的性质（1）（2）（3）角点值：或： 令：其中：为它们在角点 i 处的值 则插值函数可表示为：（2.5.7）2314aabb4. 单元位移 ae 的矩阵表示 2314aabb（2.5.8）其中：（2.5.9） 形函数矩阵2314aabb5. 单元应变与应力（1）单元应变 应变矩阵（2.5.10）2314aabb由得（2.5.12）（2）单元应力2314aabb（2.5.13）应力矩阵其中：说明：矩形单元的应变、应力关于 x、y 线 性分布6. 单元刚度矩阵按结点的分块矩阵形式：（2.5

14、.16）其中：（2.5.17）注意：平面应变问题：（P67）n对于平面应力问题，应变矩阵、应力矩阵 和单元刚度矩阵的显式如（2518）式 （2520）。 n由应力矩阵（2514）式或（2519 ）式可见，矩形单元中的应力分量都不是 常量。n正应力分量x的主项（即不与相乘的项） 沿x方向按线性变化，而它的次要项（与 相乘的项）沿x方向按线性变化。n正应力y 与此相反。n剪应力分量xy则沿x及y两个方向都呈线性 变化。n这种一个方向为常量，另一方向呈线性变 化的情况通常并不能提高单元的精度。n矩形单元明显的缺点是不能很好地符合曲线 边界，n包括与坐标轴不平行的直线边界，因此直接 应用受到限制。n解

15、决上述问题的方法之一是采用矩形单元和 三角形单元混合使用，如图213所示。n更为一般的方法是通过等参变换将局部坐标 内的矩形单元变换为总体坐标内的任意四边 形（包括曲边四边形）的单元，这将在第4 章中进行讨论。 7. 单元等效结点载荷矩阵（1）体积力引起的： 体力向量（2）边界面力引起的： 面力向量（3）初始应力引起的： 初应力向量（4）初始应变引起的： 初应变向量8. 矩形单元插值函数构造2314（1）插值函数构造的原则：或 ：（2）（1） 角点值：（2）插值函数构造的方法待定系数将1点的坐标：代入由此可解得：代入，得又如：将2点的坐标：代入由此可解得：2314同理： 将3点的坐标：代入由此

16、可解得：将4点的坐标：代入由此可解得：2314综合，得：23148567例： 8结点矩形单元插 值函数的构造。（1）4个角点：将1点的坐标：代入由此可解得：同理，可求得：23148567（2）4个中点：将5点的坐标：代入由此可解得：23148567将6点的坐标：代入由此可解得：2314856723148567 8结点矩形 单元插值函数 或形函数（三次多项式）23148567单元位移分布函数为：说明：矩形单元的缺点：对边界形状的适应差。矩形单元的优点：（1）插值函数（形函数）容易构造；（2）单元矩阵 ke、Pe 积分求解方便。2.5.2 高精度三角形单元 6节点 三角形单元123456Pascal 三角 形1. 二次单元：6节点三角形单元其中： 4，5