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1、 常微分方程 绵阳师范学院常微分方程课程简介常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物 、物体的运动现象、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天 、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以 描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引 力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展 规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股 票的涨跌趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化常微分方程1常微分方程 绵阳师范学院等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 于自然科学，而且越来
2、越多的应用于社会科学的各 个领域。 学习常微分方程的目的是用微积分的思想, 结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理 论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本 的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的 基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方 程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础。2常微分方程 绵阳师范学院同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学 习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然 科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将 来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好 准备。教材及主要参考资料 教 材：常微分方程,东北师大数学系编,高教出版社. 参考书目：常微分方
3、程 (第二版）王高雄等编(中山 大学)高教出版社。 常微分方程讲义,王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 常微分方程稳定性理论,许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。3常微分方程 绵阳师范学院 第一章 初等积积分法本章将通过几个具体例子,浅显地介绍常微分方 程的应用,并引出讲述一些最基本概念.1.1 微分方程和解1.1.1 微分方程 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往 是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数 学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分 方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程 模
4、型的过程.4常微分方程 绵阳师范学院例1 镭的衰变规律:解:设镭的衰变规律与该时刻的存镭量成正比, 且已知 时,存镭量为 克,试确定在任意时 刻 的存镭量.5常微分方程 绵阳师范学院含有导数的方程初始条件(积分常数 ) (记 常数)含有常数C 的解6常微分方程 绵阳师范学院即任何时刻镭元素的存量可计算.K可实验测定,称 为反应率常数.这类反应叫一阶反应.因提出这种测定有机性古生物年龄的方法 ,Libby(李倍)获60年诺贝尔化学奖.古生物的年龄就可借用此公式计算:如碳的一 种放射性同位素(存在于有机物)半衰期为5600年, 一块古木的放射性只有活树的一半,那么它就是 5600年前后活树上砍下的
5、,若放射性只有活树的四 分之一,它的生活期约为11200年.(都江堰二王庙有 乌木用 测定年龄的例子). 7常微分方程 绵阳师范学院求平面上过过点(1,3)且每点切线线斜率为为横坐标标2倍 的曲线线所满满足的微分方程.解: 设设所求的曲线线方程为为 由导导数的几何意义义, 应应有即又由条件: 曲线过线过 (1,3), 即于是得故所求的曲线线方程为为:例2 数学涉及切线的问题:含有导数的 方程含有常数 C的解由条件确 定了常数又由条件: 曲线过线过 (1,3), 即8常微分方程 绵阳师范学院定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数 （或微分）的关系式称为微分方程. 例1：下列关系式都是微分方
6、程一、常微分方程与偏微分方程9常微分方程 绵阳师范学院如果在一个微分方程中，自变变量的个数只有一 个，则这样则这样 的微分方程称为为常微分方程.如(1).(2).(3)1.常微分方程如果在一个微分方程中,自变变量的个数为为两个或两 个以上,称为为偏微分方程.如(4).2.偏微分方程注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方 程简称为微分方程或方程. 10常微分方程 绵阳师范学院定义义2：微分方程中出现现的未知函数的导导数的 最高阶阶数(或微分的阶阶数)称为为微分方程的阶阶数. 是一阶阶微分方程； 是二阶阶微分方程； 是四阶阶微分方程 . 二、微分方程的阶如:11常微分方程 绵阳师范学院n
7、 阶微分方程的一般形式为函数中一定含有 是未知函数, 是自变量.12常微分方程 绵阳师范学院是线性微分方程. 三 线性和非线性如定义3.如果方程(关于函数及各阶导数是线性的)左端为关于的一次有理式,则称其为n阶线性方程.13常微分方程 绵阳师范学院是非线性微分方程 . 如2. n 阶线性微分方程的一般形式不是线性方程的方程称为非线性方程14常微分方程 绵阳师范学院1.1.2 微分方程的通解与特解定义415常微分方程 绵阳师范学院通解与特解定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的 相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则 称这样的解为该方程的通解.例如:n 阶微分方程通解的一般形
8、式为16常微分方程 绵阳师范学院在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称为方程的特解.例如定义617常微分方程 绵阳师范学院例3证明:18常微分方程 绵阳师范学院当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为 初值问题.(从例2看)1.1.3 初值问题为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际 问题给微分方程附加一定的初值条件,又称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题.常见的定解条件是初始条件,n 阶微分方程的初始 条件是指如下的n个条件:在于19常微分方程 绵阳师范学院求平面上过过点(1,3)且每点切线线斜率为为横坐标标2倍 的曲线线所满满足的微分方程.解: 设设所求的曲线线方程为为 由导导数的几何意义义, 应应有即又由条件: 曲线过线过 (1,3), 即于是得故所求的曲线线方程为为:例2 数学涉及切线的问题:含有导数的 方程含有常数C 的解通解由条件确定 常数特解又由条件: 曲线过线过 (1,3), 即20常微分方程 绵阳师范学院一阶微分方程称为微分方程的积分曲线.1.1.4 积分曲线例2 的积分曲线族如图.21常微分方程 绵阳师范学院作 业(课堂练习p8. 1Q)p8. 2:(1)、(2)、(3)、 ()22
