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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1章 常微分方程初值问题的 数值解法1.1 引言1.2 欧拉法(Euler方法) 1.1 引言目标在于给出解在一些离散点上的近似值。本章研究常微分方程初值问题的主要数值 解法，包括基本方法和基本理论问题。1.2 欧拉法(Euler方法)1.2.1 欧拉方法 考虑常微分方程初值问题注：在后面的讨论中，我们总认为这个初值问 题的解存在、唯一且连续依赖于初值条件，即 初值问题(1.1)，(1.2)是适定的。将解的存在区间 等分，得到 个小区间。任取一个小区间 ，由原方程 得在区间 上，用 在点 上的值来 代替，得到为步长。其中图1.10在上式中分别用和来代替和并
2、由n 的任意性，得到(1.3)这就是欧拉公式。欧拉公式亦可由Taylor 展式得到0图1.2几何意义几何意义在上式中分别用和来代替和则得一般而言，并不要求步长相等，则有(1.4)例 1.1 以的数值解，并与精确解为步长，用欧拉法求初值问题比较。先编写右端函数： function dy=Euler_fun1(x,y) dy=x.*exp(-x)-y;再采用Euler公式编写如下主程序求数值解，并与精 确解比较，所得图形如下例 1.1 以的数值解，并与精确解例 1.1 以的数值解，并与精确解例 1.1 以比较。的数值解，并与精确解例 1.1 以Clear; h=0.1;xend=2;N=2/h;
3、x(1)=0;y(1)=1; x=h.*(0:N); for n=1:Ny(n+1)=y(n)+h*Euler_fun1(x(n),y(n); end y_real=1/2*(x.2+2).*exp(-x); plot(x,y,*,x,y_real,r) xlabel(x,FontSize,16); ylabel(y,FontSize,16);1.2.2 收敛性研究所谓收敛性问题,就是研究时,要求,。整体截断误差这里(1.6)即ThTh局部截断误差(1)、计算格式本身不能准确描述原来的方程 误差的产生：(2)、计算机本身引入的误差(舍入误差) 注：不考虑计算机引入的舍入误差 为保证Euler公
4、式是一个好的数值计算格式，需 研究Euler公式的收敛性和稳定性问题。定理 1.1(1.12)其中h。为步长，的局部截断误差，则欧拉方法满足假定Back其中 R 为局部截断误差的上界。定理 1.2 设 f(t,u) 关于 u 满足Lipschitz 条件，L为相应的Lipschitz常数，则欧拉方法的整体截断满足(1.13)误差Th1.4由定理1.1，1.2，可得定理 1.3 设 f(t,u) 关于 u 满足Lipschitz 条件，L为相应的Lipschitz常数，(1.14)且当h0，并有估计式，则欧拉方法的解一致收敛到初值问题(1.1)，(1.2)的解如果，即，由此有(1.15)即欧拉方
5、法的整体截断误差与h 同阶，由 的表 达式可知， ，这说明局部截断误差比整体 截断误差高一阶。我们称欧拉方法为一阶格式。1.2.3 稳定性研究前已指出欧拉方法的稳定性问题是决定欧拉法在利 用计算机能否得到精确解的关键问题，只有稳定的算法 才可能是有用的算法。定理1.4 在定理1.2的条件下，欧拉方法是稳 定的。 Th1.2由定理1.2，我们看到如初始误差 ，则整体截断 误差的阶完全由局部截断误差的阶决定，事实上，若局 部截断误差阶为 ，则整体截断误差阶为 。因 此为了提高数值算法的精度，往往从提高局部截断误差 的阶入手，这也时构造高精度差分方程数值方法的主要 依据。定义1.1 如果存在正常数 c 及 ，使对任意初始值与，由计算所得之解满足估计式则称欧拉方法稳定。注意: 这里 分别是以 为 初值得到的精确值，毫无舍入误 差，因此这里稳定性定义式对初 值的稳定性，即研究初值误差在 计算过程中的传递问题。谢 谢P10习题1，用Euler法，并与精确解比较作业：作业要求：写出程序，列表或用图形显示结果，并 给出图或表所说明的结果
