子群及其陪集

《子群及其陪集》由会员分享，可在线阅读，更多相关《子群及其陪集（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、6.4 子 群 及 其 陪 集v6.4.1 子 群 的 定 义 v6.4.2 子群的判别条件 v6.4.3 循 环 群 v6.4.4 陪 集 6.4.1 子 群 的 定 义子群 设（G，）是一个群， H G，如果 (H， ) 仍是一个群，则（H，）叫做（G，）的子群。 真子群 如果G的一个子群H不等于G，即H G，则（H，）叫做（G，）的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样，比如， （C*，）不是（C，+）的子群 。 子群的例v例. （mZ，+）是整数加法群（Z，+） 的一个子群。 v例. （C，+）以（R，+）、（Q，+）、（Z，+ ）为其真子群。 v例. （C*，）以（

2、R*，）、（Q*，）为其真子群。 v例. 行列式等于1的所有n阶矩阵作成所有n阶非奇异矩阵的乘法群的一个子群。 v例. n次交代群是n次对称群的一个真子群。 平凡子群任一群G都有两个明显的子群,称为G 的平凡子群： v由其单位元素组成的子群1，称为G 的单位子群； vG本身。 其余的子群（如果有的话）称为非平 凡子群。 6.4.2 子群的判别条件判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个 子群的充分必要条件是：(1) 若aH，bH，则abH；(2) 若aH，则a-1H；(3) H非空。 判别条件一证明： 必要性 若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2） .先证H中的单位元

3、就是G中的单位元。 设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。任取aH，则在H中有： 1H a=a，故在G中也成立。以a-1右乘得(1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ，故，1H=1G。判别条件一由群的定义，对于H中的a，应有 bH使，ab= 1H=1G ，此式在G中亦成 立，以a-1左乘得b= 1G a-1 = a-1 ，因而 a-1H，即（2）成立。必要性证毕。判别条件一充分性 设(1),(2),(3)成立。由(3)，H非空。v由(1)，H中的两个元素a，b可以在H内相乘.v在G中成立的结合律在子集H中自然成立。v往证H中有单位元1G 。

4、任取aH,由(2),a- 1H,由(1),aa-1H，即1GH；1G在G中适合 1a=a，故在H中亦有此性质。v往证H中任意元素a有逆.因由(2),a-1H，但是 G中，a-1a=1G，此式在H中亦应成立，故a-1即a在 H中之逆。 综上，H在G的运算下是一个群，故是G的子群。 v子群H与大群G的关系：H的单位元素就是G的单位元素，H中任一元素a在H中的逆元素也就是a 在G中的逆元素。 判别条件二定理6.4.2 判别条件一中的两个条件（1 ），（2）可以换成下面一个条件（*） 若aH，bH，则ab-1H。证明：设(1),(2)成立，往证（*）成立 。设aH，bH，由（2），b-1H， 故由（1

5、），ab-1H，因而（*）成立 。判别条件二设（*）成立，往证(1),(2)成立。 设aH，由（*）可推得，aH ，aH，故 aa-1H,即1H。又由（*）可推得，1H， aH，故1a-1H，即a-1H，因而（2）成立。 设aH，bH，因为（2）已证,故b-1H。再由 (*)推知,aH,b-1H,故a（b-1）-1H，即 abH ，故（1）成立。 判别条件三定理6.4.3 设H群G的一个有限非空子集 ，则H是G的子群的充分必要条件是H 对G的运算是封闭的，即若aH， bH，则abH 。提示：充分性证明用教材201页习题2得出的结论 ：若非空、运算封闭、结合律、消去律、有限， 则为群。6.4.3

6、 循 环 群 v定理6.4.4 设a是群G的一个元素。于是a的所有 幂的集合 an，n=0，1，2， 做成G的一个子群，记为（a）。此群称为由a生 成的子群。 证明： （1）（a）非空，至少a0=1（a）。 （2）任取（a）中二元素am，an，有am（an）-1=ama-n=am-n（a）。 故由子群判别条件二，（a）做成G的一个子群。 6.4.3 循 环 群v定义.如果群G可以由它的某元素a生成， 即有aG使G=（a），则G叫做一个循环群 ，或巡回群。上面定理中的（a）称为由a 生成的循环子群。 v例. 整数加法群（Z，+）是由1生成的循 环群。（nZ，+）是由n生成的循环群。元素的周期 看

7、由元素a所生成的循环群（a）：，a-2，a-1，a0，a，a2， （1）情形10 如果（1）中所有元素都彼此不同，则称 a的周期为无穷大或0。此时，对任意两个不同的 整数s与t，asat。情形20 如果（1）中出现重复的元素，即有整数 st，使as=at。不妨设st，于是s-t0且as-t=1， 即有正整数m使am=1。若n为适合an=1的最小正整数，则称a的周期为n 。 周期的例例. 4次对称群中（1 2 3 4）的周期是4，因 为 （1 2 3 4）2=（1 3）（2 4）（1 2 3 4）3=（1 4 3 2）（1 2 3 4）4= I例. 在（C*，）中，1的周期为1，-1的周 期为2

8、，i的周期为4，模数r1的复数 z=rei的周期为无穷大。 周期的性质 定理6.4.5 若群G中元素a的周期为n，则（1） 1，a，a2，a3，an-1为n个不同 元素；（2） am=1当且仅当nm;（3） as=at当且仅当n(s-t)。 证明：因为任意整数m恒可唯一地表为 m=nq+r，0rn 故 am=anqar=(an ) qar=1qar=lar=ar； 由于0rn，故按周期的定义知 ar=1 iff r=0 所以 am=1 iff r=0 iff nm 即（2）得证。由（2）即知 as=at iff as-t=1 iff n(s-t)， 即（3）得证，最后由（3）立即可得（1）。

9、v 结论：设a为群G的一个元素， （1）如果a的周期为无穷大，则（a）是无 限循环群，（a）由彼此不同的元素，a-2，a-1，1，a，a2， 组成。 （2）如果a的周期为n，则（a）为n元循环 群，它由n个不同的元素 1，a，a2，a3，an-1 组成。加法群中元素的周期 在加法群中，(a)应换为a的所有倍数的集合：，-2a，-a，0，a，2a， * 当(*)中的所有元素均彼此不同时，称a的周期为 无穷大或为0；否则当n为适合na=0的最小正整数 时，称a的周期为n. 定理6.4.5 若加法群中a的周期为n，则有 (1) 0，a，2a，（n-1）a为n个不同元素； (2) ma=0当且仅当nm

10、; (3) sa=ta当且仅当n(s-t)循环群的生成元素 定理6.4.6 （1） 无限循环群（a）一共有两个生成元 ：a及a-1。（2） n元循环群（a）中，元素ak 是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1 。所以（a）一共有(n)个生成元素。 证明：如果ak是（a）的一个生成元，那么 （a）中每个元素都可表示为ak的方幂。特 别地，a也可表示为ak的方幂。设a = (ak) m = ak m。 （1） 由（a）是无限循环群知，km=1。因此，k=1。即， a及a-1为无限循环群（a）的生成元。（2） 如果（a）是一个n元有限群，那么a的周 期为n。由周期的性质知，n|km-1。因此，

11、km-1=nq， km-nq=1。这说明k与n互质。另一方面，如果k与n互质，则有h和-q，使h k-qn=1， 即，hk-1=qn，故 n(kh-1)，由周 期的性质知，a1=akh， a=(ak)h.故a可表为ak的若 干次方.总之，a可表为ak的若干次方 iff k与n互质。但在0kn中，共有(n)个k与n互质，故共有 (n)个元素ak可生成（a）。 6.4.4 陪 集 合同关系v定义. 设G是群，H是G的子群，a，bG，若 有hH， 使得a =bh，则称a合同于b(右模H)，记为ab（右mod H）。v例. 设G是三次对称群，H是由（1 2 3）生成的 子群：H=I，（1 2 3），（

12、1 3 2）。 因为有IH，使得（1 2）=（1 2）I，所以 （1 2） （1 2）（右mod H）。 因为有(1 2 3)H,使得(2 3)=(1 2)(1 2 3)， 所以 （2 3） （1 2）（右mod H）。 v结论:合同关系(右模H)是一个等价关系。证明：1) 证反身性。因为对任意aG， 有1H ，使 得a=a1，所以aa（右mod H）。2）证对称性。即证若ab(右mod H)，则ba(右 mod H)。由a=bh,hH 可以推出b =ah-1，而且h- 1H，故ba(右mod H)。3)证传递性。即证若ab(右mod H)，bc(右 mod H)，则ac(右mod H)。由a

13、=bh，b=ck， h，kH，可得a=ckh，其中khH，故ac（右mod H）。 陪集v定义. 群G在合同关系（右模H）下 的一个等价类叫做H的一个右陪集。同样，可以界说a合同于b（左模H）： ab（左modH）和H的左陪集。 v 结论：a所在的右陪集为aH=ah|h H。陪集的例设G是整数加法群。H是m的所有倍数作成 的子群，因为加法适合交换律，所以左右 之分不存在，因而，（左mod H） 和（右 mod H）是一样的，左右陪集也是一样的。ab（mod H），即a=b+h(hH),亦即 ， a=b+km, 故ab（mod m）。可见，H的陪集就是模m的剩余类。 陪集的例设G是所有非0复数的

14、乘法群，所有其 z=1的复数z=ei作成G的一个子群H。 ab（mod H）等于说a=b。 在复平面上，H相当单位圆，H的所有陪集 相当以原点为圆心的所有同心圆。 求陪集的简单方法 若G是一个有限群，求H的右陪集： 首先，H本身是一个；任取aH，aG,而求aH，又得到一个；任取b HaH而求bH又得到一个； 如此类推，因G有限，最后必被穷尽，而 G=HaHbH。 例. 设G是3次对称群：1,（1 2）,（1 3）,（ 2 3）,（1 2 3）,（1 3 2）， H：1,（12）， H有三个右陪集： 1,(1 2)，(1 3),(1 2 3)， (2 3), (1 3 2) 。H有三个左陪集：

15、1,(1 2)，(2 3), (1 2 3)，(1 3), (1 3 2) 定理6.4.7设H是群G的有限子群，则H的任意右陪集 aH的元数皆等于H的元数。 证明： aH=ahhH，又G中有消法律 ： 由a=ay可以推出=y，故H中不同元素 以a左乘仍得不同的元素。因而aH的元数等 于H的元数。 陪集的性质（1）若H为G的有限子群，则|aH| = |H|。 （2）H本身也是H的一个右陪集。 （3）aH=H的充分必要条件是aH。 （4）a在陪集aH中。根据这点，把a叫做右陪集aH的一个陪集 代表。 陪集的性质（5）对于右陪集aH中任意元素b，都有 aH=bH。 证明： 由baH知，存在hH，使得b=ah 。因此，bH=ahH=a（hH）=aH。 这点说明右陪集aH中任一元素都可以取 做陪集代表。从（5）还可推出： （6）aH=bH的充分必要条件是a-1bH。 陪集的性质（7）任意两个右陪集aH和bH或者相等或 者不相交。 证明： 如果aH和bH相交，则它们包含公共 元素c，即caH，且cbH。因此， 由（5）得aH=cH，且bH=cH。故， aH=bH。 正规子群 v定义. 设H是群G的子群,设对G中的任意 元素g,都有gH=Hg,则称H是G的正规子群 。v 结论1 “平凡”子群H=1和G都是G的 正规子群v 结论2 Abel群的任意子群是正规