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1、6.4 子 群 及 其 陪 集v6.4.1 子 群 的 定 义 v6.4.2 子群的判别条件 v6.4.3 循 环 群 v6.4.4 陪 集 6.4.1 子 群 的 定 义子群 设(G,)是一个群, H G,如果 (H, ) 仍是一个群,则(H,)叫做(G,)的子群。 真子群 如果G的一个子群H不等于G,即H G,则(H,)叫做(G,)的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样,比如, (C*,)不是(C,+)的子群 。 子群的例v例. (mZ,+)是整数加法群(Z,+) 的一个子群。 v例. (C,+)以(R,+)、(Q,+)、(Z,+ )为其真子群。 v例. (C*,)以(
2、R*,)、(Q*,)为其真子群。 v例. 行列式等于1的所有n阶矩阵作成所有n阶非奇异矩阵的乘法群的一个子群。 v例. n次交代群是n次对称群的一个真子群。 平凡子群任一群G都有两个明显的子群,称为G 的平凡子群: v由其单位元素组成的子群1,称为G 的单位子群; vG本身。 其余的子群(如果有的话)称为非平 凡子群。 6.4.2 子群的判别条件判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个 子群的充分必要条件是:(1) 若aH,bH,则abH;(2) 若aH,则a-1H;(3) H非空。 判别条件一证明: 必要性 若H是G的子群,则(1)、(3)显然。现要证(2) .先证H中的单位元
3、就是G中的单位元。 设1G是G中的单位元,1H是H中的单位元。任取aH,则在H中有: 1H a=a,故在G中也成立。以a-1右乘得(1H a)a-1 =aa-1,即,1H (aa-1) =1G , 1H 1G = 1G ,故,1H=1G。判别条件一由群的定义,对于H中的a,应有 bH使,ab= 1H=1G ,此式在G中亦成 立,以a-1左乘得b= 1G a-1 = a-1 ,因而 a-1H,即(2)成立。必要性证毕。判别条件一充分性 设(1),(2),(3)成立。由(3),H非空。v由(1),H中的两个元素a,b可以在H内相乘.v在G中成立的结合律在子集H中自然成立。v往证H中有单位元1G 。
4、任取aH,由(2),a- 1H,由(1),aa-1H,即1GH;1G在G中适合 1a=a,故在H中亦有此性质。v往证H中任意元素a有逆.因由(2),a-1H,但是 G中,a-1a=1G,此式在H中亦应成立,故a-1即a在 H中之逆。 综上,H在G的运算下是一个群,故是G的子群。 v子群H与大群G的关系:H的单位元素就是G的单位元素,H中任一元素a在H中的逆元素也就是a 在G中的逆元素。 判别条件二定理6.4.2 判别条件一中的两个条件(1 ),(2)可以换成下面一个条件(*) 若aH,bH,则ab-1H。证明:设(1),(2)成立,往证(*)成立 。设aH,bH,由(2),b-1H, 故由(1
5、),ab-1H,因而(*)成立 。判别条件二设(*)成立,往证(1),(2)成立。 设aH,由(*)可推得,aH ,aH,故 aa-1H,即1H。又由(*)可推得,1H, aH,故1a-1H,即a-1H,因而(2)成立。 设aH,bH,因为(2)已证,故b-1H。再由 (*)推知,aH,b-1H,故a(b-1)-1H,即 abH ,故(1)成立。 判别条件三定理6.4.3 设H群G的一个有限非空子集 ,则H是G的子群的充分必要条件是H 对G的运算是封闭的,即若aH, bH,则abH 。提示:充分性证明用教材201页习题2得出的结论 :若非空、运算封闭、结合律、消去律、有限, 则为群。6.4.3
6、 循 环 群 v定理6.4.4 设a是群G的一个元素。于是a的所有 幂的集合 an,n=0,1,2, 做成G的一个子群,记为(a)。此群称为由a生 成的子群。 证明: (1)(a)非空,至少a0=1(a)。 (2)任取(a)中二元素am,an,有am(an)-1=ama-n=am-n(a)。 故由子群判别条件二,(a)做成G的一个子群。 6.4.3 循 环 群v定义.如果群G可以由它的某元素a生成, 即有aG使G=(a),则G叫做一个循环群 ,或巡回群。上面定理中的(a)称为由a 生成的循环子群。 v例. 整数加法群(Z,+)是由1生成的循 环群。(nZ,+)是由n生成的循环群。元素的周期 看
7、由元素a所生成的循环群(a):,a-2,a-1,a0,a,a2, (1)情形10 如果(1)中所有元素都彼此不同,则称 a的周期为无穷大或0。此时,对任意两个不同的 整数s与t,asat。情形20 如果(1)中出现重复的元素,即有整数 st,使as=at。不妨设st,于是s-t0且as-t=1, 即有正整数m使am=1。若n为适合an=1的最小正整数,则称a的周期为n 。 周期的例例. 4次对称群中(1 2 3 4)的周期是4,因 为 (1 2 3 4)2=(1 3)(2 4)(1 2 3 4)3=(1 4 3 2)(1 2 3 4)4= I例. 在(C*,)中,1的周期为1,-1的周 期为2
8、,i的周期为4,模数r1的复数 z=rei的周期为无穷大。 周期的性质 定理6.4.5 若群G中元素a的周期为n,则(1) 1,a,a2,a3,an-1为n个不同 元素;(2) am=1当且仅当nm;(3) as=at当且仅当n(s-t)。 证明:因为任意整数m恒可唯一地表为 m=nq+r,0rn 故 am=anqar=(an ) qar=1qar=lar=ar; 由于0rn,故按周期的定义知 ar=1 iff r=0 所以 am=1 iff r=0 iff nm 即(2)得证。由(2)即知 as=at iff as-t=1 iff n(s-t), 即(3)得证,最后由(3)立即可得(1)。
9、v 结论:设a为群G的一个元素, (1)如果a的周期为无穷大,则(a)是无 限循环群,(a)由彼此不同的元素,a-2,a-1,1,a,a2, 组成。 (2)如果a的周期为n,则(a)为n元循环 群,它由n个不同的元素 1,a,a2,a3,an-1 组成。加法群中元素的周期 在加法群中,(a)应换为a的所有倍数的集合:,-2a,-a,0,a,2a, * 当(*)中的所有元素均彼此不同时,称a的周期为 无穷大或为0;否则当n为适合na=0的最小正整数 时,称a的周期为n. 定理6.4.5 若加法群中a的周期为n,则有 (1) 0,a,2a,(n-1)a为n个不同元素; (2) ma=0当且仅当nm
10、; (3) sa=ta当且仅当n(s-t)循环群的生成元素 定理6.4.6 (1) 无限循环群(a)一共有两个生成元 :a及a-1。(2) n元循环群(a)中,元素ak 是(a)的生成元的充要条件是(n,k)=1 。所以(a)一共有(n)个生成元素。 证明:如果ak是(a)的一个生成元,那么 (a)中每个元素都可表示为ak的方幂。特 别地,a也可表示为ak的方幂。设a = (ak) m = ak m。 (1) 由(a)是无限循环群知,km=1。因此,k=1。即, a及a-1为无限循环群(a)的生成元。(2) 如果(a)是一个n元有限群,那么a的周 期为n。由周期的性质知,n|km-1。因此,
11、km-1=nq, km-nq=1。这说明k与n互质。另一方面,如果k与n互质,则有h和-q,使h k-qn=1, 即,hk-1=qn,故 n(kh-1),由周 期的性质知,a1=akh, a=(ak)h.故a可表为ak的若 干次方.总之,a可表为ak的若干次方 iff k与n互质。但在0kn中,共有(n)个k与n互质,故共有 (n)个元素ak可生成(a)。 6.4.4 陪 集 合同关系v定义. 设G是群,H是G的子群,a,bG,若 有hH, 使得a =bh,则称a合同于b(右模H),记为ab(右mod H)。v例. 设G是三次对称群,H是由(1 2 3)生成的 子群:H=I,(1 2 3),(
12、1 3 2)。 因为有IH,使得(1 2)=(1 2)I,所以 (1 2) (1 2)(右mod H)。 因为有(1 2 3)H,使得(2 3)=(1 2)(1 2 3), 所以 (2 3) (1 2)(右mod H)。 v结论:合同关系(右模H)是一个等价关系。证明:1) 证反身性。因为对任意aG, 有1H ,使 得a=a1,所以aa(右mod H)。2)证对称性。即证若ab(右mod H),则ba(右 mod H)。由a=bh,hH 可以推出b =ah-1,而且h- 1H,故ba(右mod H)。3)证传递性。即证若ab(右mod H),bc(右 mod H),则ac(右mod H)。由a
13、=bh,b=ck, h,kH,可得a=ckh,其中khH,故ac(右mod H)。 陪集v定义. 群G在合同关系(右模H)下 的一个等价类叫做H的一个右陪集。同样,可以界说a合同于b(左模H): ab(左modH)和H的左陪集。 v 结论:a所在的右陪集为aH=ah|h H。陪集的例设G是整数加法群。H是m的所有倍数作成 的子群,因为加法适合交换律,所以左右 之分不存在,因而,(左mod H) 和(右 mod H)是一样的,左右陪集也是一样的。ab(mod H),即a=b+h(hH),亦即 , a=b+km, 故ab(mod m)。可见,H的陪集就是模m的剩余类。 陪集的例设G是所有非0复数的
14、乘法群,所有其 z=1的复数z=ei作成G的一个子群H。 ab(mod H)等于说a=b。 在复平面上,H相当单位圆,H的所有陪集 相当以原点为圆心的所有同心圆。 求陪集的简单方法 若G是一个有限群,求H的右陪集: 首先,H本身是一个;任取aH,aG,而求aH,又得到一个;任取b HaH而求bH又得到一个; 如此类推,因G有限,最后必被穷尽,而 G=HaHbH。 例. 设G是3次对称群:1,(1 2),(1 3),( 2 3),(1 2 3),(1 3 2), H:1,(12), H有三个右陪集: 1,(1 2),(1 3),(1 2 3), (2 3), (1 3 2) 。H有三个左陪集:
15、1,(1 2),(2 3), (1 2 3),(1 3), (1 3 2) 定理6.4.7设H是群G的有限子群,则H的任意右陪集 aH的元数皆等于H的元数。 证明: aH=ahhH,又G中有消法律 : 由a=ay可以推出=y,故H中不同元素 以a左乘仍得不同的元素。因而aH的元数等 于H的元数。 陪集的性质(1)若H为G的有限子群,则|aH| = |H|。 (2)H本身也是H的一个右陪集。 (3)aH=H的充分必要条件是aH。 (4)a在陪集aH中。根据这点,把a叫做右陪集aH的一个陪集 代表。 陪集的性质(5)对于右陪集aH中任意元素b,都有 aH=bH。 证明: 由baH知,存在hH,使得b=ah 。因此,bH=ahH=a(hH)=aH。 这点说明右陪集aH中任一元素都可以取 做陪集代表。从(5)还可推出: (6)aH=bH的充分必要条件是a-1bH。 陪集的性质(7)任意两个右陪集aH和bH或者相等或 者不相交。 证明: 如果aH和bH相交,则它们包含公共 元素c,即caH,且cbH。因此, 由(5)得aH=cH,且bH=cH。故, aH=bH。 正规子群 v定义. 设H是群G的子群,设对G中的任意 元素g,都有gH=Hg,则称H是G的正规子群 。v 结论1 “平凡”子群H=1和G都是G的 正规子群v 结论2 Abel群的任意子群是正规