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1、第八章 多元函数1、空间解析几何简介2、多元函数的概念3、二元函数的极限与连续4、偏导数5、全微分6、复合函数的微分法7、隐函数的微分法8、二重积分Oy轴(纵轴)z轴(竖轴)(坐标)原点x轴(横轴)x 1 y 1z 1拇指方向四指转向右手规则三个坐标系的正向 通常符合右手规则.一、空间直角坐标系坐标面：x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面、zOx面.面面面Oz y x 第一卦限卦 限：Oz y x 第二卦限卦 限：第三卦限Oz y x 卦 限：Oz y x 第四卦限卦 限：Oz y x 第五卦限卦 限：Oz y x 第六卦限卦 限：Oz y x 第七卦限卦 限：O
2、z y x 第八卦限卦 限：空间一点的坐标：Ox y z PRxzyMQ点M 记为M(x，y，z)二、空间两点间的距离设为空间两点,在直角及直角 中 ,由勾股定理有:求所以 之间的距离为解 由距离公式，得 例1 求 之间的距离三、曲面与方程定义8.1 如果曲面 上任意一点的坐标都满足方程，而不在 上的点都不满足方程，那么方程 称为曲面 的方程，而曲面 称为方程 的图形。定义8.1 如果曲面 上任意一点的坐标都满足方程，而不在 上的点都不满足方程，那么方程 称为曲面 的方程，而曲面 称为方程 的图形。例1 一动点 与两定点 的距离相等，求此动点的轨迹方程。例2 求三个坐标平面的方程。例3 作 （
3、 为常数） 的图形。例4 求球心为点 ，半径为 的球面方程。例5 作 的图形-圆柱面。例6 作 的图形-旋转抛物面。例7 作 的图形-双曲抛物面（或 马鞍面）。见下图柱面举例抛物柱面平面曲面与坐标面的交线：抛物线双曲线方程双曲抛物面（马鞍面）8.2多元函数概念也可记为多元函数的定义域：例1 求 的定义域解所求定义域为例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:在二元函数中，我们用平面上 与 两点间的距离来定义点 的 邻域，即由集合所确定的平面上的开圆域，因此可以定义二元函 数的极限。来定义点 的 邻域，即由集合定义8.3 若 ， ，使当时，恒有成立，则称当 趋于 ，函数 以 为极 限。记作或注
4、意：这里说的当 趋于 时， 以为极限，是指 以任何方式趋于 时， 都趋于 。因为平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数的极限要比一元函数的复杂得多。8.3 二元函数的极限与连续证当 时，例1 设 求证：例2 讨论函数在(0,0)的极限解取其值随k的不同而变化， 极限不存在例3 求极限 解其中例4 证明 不存在 证取其值随k的不同而变化，故极限不存在多元函数的连续性例如，前面讨论过的函数例5 讨论函数在(0,0)处的连续性解 取故函数在(0,0)处连续.当 时例6 讨论函数在(0,0)的连续性解取其值随k的不同而变化， 极限不存在故函数在(0,0)处不连续有界闭区域的上连续的多元函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，必定 在D上有界，且能取得它的最大值和最小值在有界闭区域D上的多元连续函数必取 得介于最大值和最小值之间的任何值。（1）有界性与最大值和最小值定理（2）介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例解思考题思考题解答不能.例取但是 不存在.原因为若取
