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1、实变函数与泛函分析 基础实变函数 泛函分析 第一章 集合 第二章 点集 第三章 测度论 第四章 可测函数 第五章 积分论 第七章 度量空间和赋 范线性空间 第八章 有界线性算子和连续线性泛函第一篇 实变函数实变函数论是19世纪末、20世纪初，主要由法国数学家勒贝格（Lebesgue，1875-1941）创立的。作用：是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿-莱布尼兹所建立的微积分学存在的缺点，是微分和积分的运算更加完美对称。缺点：黎曼意义下可积的函数类太小。例如： 黎曼意义下不可积。黎曼积分的缺陷（内填外包法）集合测度（集合的长度）L积分第一章 集合1. 集合概念 2. 集合的运算 3. 对等
2、与基数 4. 可数集合5. 不可数集合1. 集合概念 集合集合是指在一定范围内可以相互区别的事物的汇集，将它们看作一个整体时，就称这个整体为一个集合，用大写字母A、B、C表示。其中每个个体事物成为该集合的元素或点，用小写字母a、b、c表示。相等：两个集合有完全一致的元素时称为相等，记为A=B。空集：不含任何元素的集合，记为子集：A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集， 记为A B真子集：若A是B的子集但不等于B，则称A为B的真子集。注意 和 的区别：表示集合和它的元素之间的关系。：表示集合与集合之间的关系。集合表示方法：列举法：将其元素一一列举出来。特征描述法：将元素所具有的特征义命题的
3、形式描述出来。定理1：对任何集合A、B、C，均有（1）A A（2）A B，B A，则A = B（3）A B，B C，则A C其中（2）是经常用于证明两个集合相等。2 集合的运算1、和集或并集2、交集显然有(1)(2)若 则 ， 定理1 （1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）掌握两个集合相等的证明例题 1：设（1）则（2）设则3、差集 注意：这里并不要求 ？4、余集 设 ,则 表示A关于S的余集，记为定理3： 5、上限集、下限集上限集：设A1 ，A2 ，An，是任意列集，由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限，记为 或下限集：设A1 ，A2 ，An，
4、那种除有限个下标外，属于集列中每个集的元素的全体所组成的集称为这一集列的下限集或下极限，记为 或显然有极限：如果 ，则称集列An收敛，将这一集列称为An的极限，记为6、单调集列例题 2设An如下一列点集：试确定An的上极限和下极限。例题 3试确定An的上极限和下极限。单调集列是收敛的。例题 4试确定An的上极限和下极限。性质：3 对等与基数1、A到B内的映射设A、B为两个非空集合，如果有某一法则 ，使每个 有唯一确定的 和它对应，则称 为A到B内的映射，记为集合A称为映射 的定义域，设C是A的子集，C中所有元素的像的全体，记为 ，称它是集C在 之下的像. 称为映射 的值域.2、A到B上的映射如
5、果 ，就称 是A到B上的映射，也称映射 是“ 到上”的（满射）注意两者的关系：是A到B上的映射 是A到B内的映射 3、一一对应 设 为A到B上的一个映射.如果对每一个 ，只有唯一的 满足 ，则称 为A到B上的一一映射，也称一一对应，写作11对应，也记为若 为 的一个满射且为单射，则称 为 的一个一一映射。4、逆映射 设 为A到B上的一一映射.作B到A的映射如下:如果 令 , 确实使唯一的 与 相对应，即 是映射，则称 是 的逆映射，也记为注：逆映射是反函数概念的推广。例如，任何一个严格单调的函数都可以看成它的定义域到值域中的一一对应，其反函数就是一个逆映射。5、对等（针对集合的概念）设A、B是
6、两个非空集合，如果存在某 ，则称A和B对等，记为例题 5 设（1）有 ， ，（2）（3）区间（0，1）和全体实数对等注： 如果一个集合能和它的真子集对等，则这个集合就是无限集。如果A是空集或者A和正整数的某截段 对等，则称集合A为有限集，这是有限集合不依赖于元素个数的概念。集合对等的意义：集合中元素的多少是一个基本的概念。对有限集来说，元素的多 少就是集合中元素的个数；对于无限集来说，没有元素个数这样一个 概念，但有时也需要比较元素的多少，比如：全体自然数集与全体正 偶数集那个集的元素多？映射可以解决这样一个问题。引入对等的概念，用一一映射去比较两个无限集元素的多少。例如：任何两个开区间(a,
7、b)与(c,d)间存在一一对应故(a,b)与(c,d)对等。定理 1 对任何集合A、B、C均有定理 2 设An和Bn是两列分别彼此互不相交的集列，若 ， 则6、集合的基数 基数：把所有的集合进行分类，两个集合当且仅当它们对等时属于同一类，每一类给于一个特定的记号，称这个记号是该类中每一个集合的基数，又称势。集合E的基数记为注：对任何集合A，B， 当且仅当若存在 ，则称A的基数不大于B的基数，记为若存在 ，则称A的基数小于B的基数，记为 必有一个且仅有一个成立。定理 3 （Bernstein Theorem) 设A、B是两个非空集合，如果A对等于B的一个子集，B又对等于A的一个子集，那么A对等于
8、B。按照基数的说法就是： ，则该定理提供了判断两个集合对等的方法。说明：对有限集来讲，基数就是集合所含元素的个数。基数是一切彼此对等的集合之间的某种共同属性，是有限集的元素个数概念的推广。例如：自然数集与正偶数集对等，虽然正偶数集是自然数集的真子 集，但是它们的基数相等，认为他们的元素是“一样多“的。一个集合A为可数集的充要条件是A的一切元素可以用自然数加以编号，使之成为无穷序列的形式，即通常既可列集的基数为4 可数集合 1、可数集合（可列集合）凡是和全体正整数所成之集合N对等的集合都称为可数集合或可列集合。例如： 都是可数集，因为它们的元素可以排成如下的无限序列定理 1：任何无限集合都至少包
9、含一个可数子集。注：此定理说明，任意无限集总存在一个子集与N对等，于是由基数大小关系的定义，可知任意无限集的基数都大于或等于N的基数a,也就是说，可数集的基数a是所有无限及基数中最小的一个。定理 2：可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集。注：我们有时把有限集与可列集统称为至多可列集。定理 3：设A为可数集，B为有限或可数集，则A B为可数集。定理 4：设 都是可数集，则 也是可数集。推论：设 是有限集或是可数集，则 也是有 限集或是可数集，但如果至少有一个 是可数集，则 必 为可数集。定理 5：有理数全体成一可数集合。Proof: 注意到每个有理数
10、都可以写成既约分数 的形式，其中设 ，则每个 都是可数集。由定理结论可知，正有理数集与自然数集对等，所以正有理数集是可数集。同理所有负有理数集也是可数集。因此，有理数集 为可列集。定理 6：若A中每一个元素可由n个相互独立的记号一对一的加以决定，各记号跑遍一个可数集， ，则A为可数集。例题 6 （1）平面上坐标为有理数的点全体所成的集为一可数集。(2)元素 是由k个正整数所组成的，其全体成一可数集。（3）整系数多项式全体是可数集。Proof: n次整系数多项式 的全体An.实际上An是由n+1个独立记号 所决定，而每个记号各自跑遍可列集Z的那些元素所组成，所以An为可数集。让n分别取0,1,2
11、,，得一列可数集A0,A1,，于是整系数多项式的全体就是可列个可数集之并，也为可数集。（4）整系数多项式的根称为代数数，代数数的全体是一个可数集。Proof: 由于整系数多项式的全体为可数集，而每一个整系数多项式又只能有有限个实根，故代数数全体可看成可列个有限集之并，也为可数集。（5）设A是一个无穷集合，则必有 ，使 ，而 可数。5 不可数集不是可数集合的无限集成为不可数集。引理 1 ：区间（0，1）是不可数集。区间0，1与（0，1）具有相同的基数。称0与1之间的实数全体所成之集合的基数记为 ，又称为连续基数。是无限集基数中最小的一个，显然，定理 1 ：全体实数所成之集合R是不可数集，基数为
12、。Proof: 只要证明（0，1）和实数全体对等即可。作（0，1）到 的映射 ：定理 2：任意区间(a,b), a,b, a,b),(a,b, 0, ）,(0, ）均具有连续基数 定理 3 ：设 A1,A2,An,是一列互不相交的集合，它们的基数都是 ，则 的基数也是 。定理 4 ：实数列全体 的基数为 。推论：设有 个集的并集，若每个集的基数都是 ，则其和集的基数也是 。定理 5 ：n维欧几里德空间 基数为 。n维欧几里德空间 定义：设n为一个正整数，称由n个实数 ，按确定的次序排成的数组 全体称为n维欧几里德空间，记为 ，每个组 称为欧几里德空间的点，又称 为点 的第 个坐标。定理 6 ：
13、设M是任意的一个集合，它的所有子集做成新的集合 ，则 。例题 7：证明例题 8：设A，B为两个集合，如果 ，则 或说明：（1）对任一基数来说，必存在比它更大的基数。因此最大的基数是不存在的。无限基数必有无穷多个。（2）在a与c之间是否还有其他基数，这个问题称“康托连续统假 设”，至今尚未完全解决。（3）有关可列集的证明方法，通常有以下几种：1证明它能与某一已知可数集对等。2证明它的元素能排成一个无限序列。3证明它是某一可数集的无限子集。4证明它是至多可列个可数集之并。5证明它的元素能由n个相互独立而各自取遍一个可数集的下 标所表示。补充： 序 半序集或偏序集：设A为一个集，在其中规定了某些元素之间的一个关系，记为 ，若满足则称关系 为A中的一个半序关系，并说A按关系 成一半序集或偏序集例如：设F为a,b上实函数全体所成之集，当 ，
