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1、 图论及其应用应用数学学院1第二章 树本章主要内容一、树的概念与性质二、生成树三、最小生成树授课学时授课学时：6学时2本次课主要内容(一)、树的概念与应用(二)、树的性质(三)、树的中心与形心31、树的概念(一)、树的概念与应用定义1 不含圈的图称为无圈图，树是连通的无圈图。例如：下面的图均是树树T1树T2树T3树T44定义2 称无圈图G为森林。注: (1)树与森林都是单图;(2) 树与森林都是偶图。例1 画出所有不同构的6阶树。解：按树中存在的最长路进行枚举。6阶树中能够存在 的最长路最小值为2，最大值为5。5树是图论中应用最为广泛的一类图。在理论上，由 于树的简单结构，常常是图论理论研究的
2、“试验田”。 在实际问题中，许多实际问题的图论模型就是树。 例2 族谱图与树2、树的应用要把一个家族的繁衍情况简洁直观表达出来，用点 表示家族中成员，成员x是成员y的儿女，把点x画在点 y的下方，并连线。如此得到的图，是一颗树，称为根 树。示意如下：根树6实际上，根树是许多问题的模型，如社会结构， 计算机数据结构，数学中的公式结构，分类枚举表 示等。例3 道路的铺设与树假设要在某地建造5个工厂，拟修筑道路连接这5处 。经勘探，其道路可按下图的无向边铺设。现在每条边 的长度已经测出并标记在图的对应边上，如果我们要求 铺设的道路总长度最短，这样既能节省费用 ，又能缩 短工期 ，如何铺设？7该问题归
3、结于在图中求所谓的最小生成树问题。或 称为赋权图中的最小连接问题。例4 化学中的分子结构与树例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为：hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh8例5 电网络中独立回路与图的生成树早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所 谓生成树的关系。即：如果电路是(n, m)图，则独立回路的 个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就可以得到一独立回路。例6 通信网络中的组播树在单播模型中，数据包通过网络沿着单一路径从源主机向 目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数 据包，而这一地
4、址却代表一个主机组。为了向所有接收者传 递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路 径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树 和Steiner树 。 9总之，树在图论研究和图论应用上都是十分典型 的特殊图。定理1 每棵非平凡树至少有两片树叶。 证明 设P=v1v2vk是非平凡树T中一条最长路，则v1 与vk在T中的邻接点只能有一个，否则，要么推出P 不是最长路，要么推出T中存在圈，这都是矛盾！ 即说明v1与v2是树叶。定理2 图G是树当且仅当G中任意两点都被唯一的路 连接。证明：“必要性”若不然，设P1与P2是连接u与v的两条不同的路。则(二)、树的性质10由这两条路的
5、全部或部分将构成一个圈，这与G是 树相矛盾。“充分性”首先，因G的任意两点均由唯一路相连，所以G是连 通的。其次，若G中存在圈，则在圈中任取点u与v，可得 到连接u与v的两条不同的路，与条件矛盾。定理3 设T是(n, m)树，则：证明：对n作数学归纳。11当n=1时，等式显然成立；设n=k时等式成立。考虑n=k+1的树T。由定理1 T中至少有两片树叶，设u是T中树叶，考虑T1=T-u,则T1为k阶树，于是m(T1)=k-1, 得m(T)=k。这就证明了定理3。例7 设T为12条边的树，其顶点度为1,2,5。如果T恰有3 个度为2的顶点，那么T有多少片树叶？解：设T有x片树叶。 由m=n-1得n
6、=13. 于是由握手定理得：12得x=8例8 设T为(n, m)树，T中有ni个度为i的点(1ik),且 有：ni=n.证明：证明：由m=n-1得：又由握手定理得：由上面两等式得：13推论1 具有k个分支的森林有n-k条边。证明：设森林G的k个分支为Ti (1ik).对每个分支 ，使用定理3得：所以：定理4 每个n阶连通图的边数至少为n-1. 证明：如果n阶连通图没有一度顶点，那么由握手定理 有：14如果G有一度顶点。对顶点数作数学归纳。当n=1时，结论显然设当n=k时，结论成立。 当n=k+1时，设u是G的一度顶点，则G-u为具有k个顶 点的连通图。若G-u有一度顶点，则由归纳假设，其边数至
7、少k-1,于 是G的边数至少有k条；若G-u没有一度顶点，则由握手定理：所以G-u至少有k+1条边。15而当G是树时，边数恰为n-1.所以n阶连通图G至少有n-1条边。所以，树也被称为最小连通图。定理5 任意树T的两个不邻接顶点之间添加一条边后， 可以得到唯一圈。证明：设u与v是树T的任意两个不邻接顶点，由定理2 知：有唯一路P连接u与v.于是Pu v是一个圈。显然，由P的唯一性也就决定了Pu v的唯一性。例9 设G是树且k,则G至少有k个一度顶点。 证明：若不然，设G有n个顶点，至多k-1个一度顶点， 由于k，于是，由握手定理得：16所以，有：m (G)n-1,与G是树矛盾！例10 设G是森
8、林且恰有2k个奇数顶点，则在G中有k条 边不重合的路P1, P2 , Pk,使得：证明：对k作数学归纳。 当k=1时，G只有两个奇数度顶点，此时，容易证明， G是一条路；设当k=t时，结论成立。令k=t+117在G中一个分支中取两个一度顶点u与v，令P是连接 该两个顶点的唯一路，则G-P是有2t个顶点的森林，由 归纳假设，它可以分解为t条边不重合的路之并，所以 G可以分解为t+1条边不重合的路之并。注：对图作某种形式的分解，是图论的一个研究对象， 它在网络结构分析中具有重要作用。例11 设T是k阶树。若图G满足k-1,则T同构于G的 某个子图。证明：对k作数学归纳。当k=1时，结论显然。 假设
9、对k-1(k3)的每颗树T1,以及最小度至少为k-2的每 个图 H，T1同构于H的某个子图F。现在设T是k阶树，且18G满足(G)k-1的图。我们证明T同构于G的某个子图。设u是T的树叶，v是u的邻接顶点。则T-u是k-1阶树。由于(G)k-1 k-2，由归纳假设，T-u同构于G的某 个子图F.设v1是与T中v相对应的F中的点，由于dG(v1) k-1,所 以v1在G中一定有相异于F中的邻点w, 作Fv1w,则该 子图和T同构。v1w FG证明示意图19树的度序列问题：在第一章中，介绍了判定一个非增非负序列是否为简单 图的度序列定理。下面介绍一个判定非增非负序列是否为 树的度序列的简单方法。定
10、理6 设S=d1,d2,dn是n个正整数序列，它们满足 ：d1d2dn ,di=2(n-1).则存在一颗树T，其度 序列为S。证明：对n作数学归纳。当n=1和2时，结论显然。假设对n=k时结论成立。设n=k+120首先,序列中至少一个数为1，否则，序列和大于2k，与 条件相矛盾！所以，dk+1=1.我们从序列中删掉d1和dk+1,增加数 d* =d1-1放在它应该在的位置。得到序列S1.该序列含k 个数，序列和为2(k-1),由归纳假设，存在树T1，它的 度序列为S1.现在，增加结点v，把它和T1中点d*相连得到树T。树T 为所求。(三)、树的中心与形心1、树的中心概念与性质21(1)图的顶点
11、的离心率(2)图的半径(3)图的直径：最大离心率。(4)图的中心点：离心率等于半径的点。(5)图的中心：中心点的集合。定理7 每棵树的中心由一个点或两个相邻点组成。22对树T的阶数n作归纳证明。当n=1或2时，结论显然成立。设对nk(k3)的树结论成立。设T是k阶树。容易知道：删掉T的所有叶，得到的树T1的每个点的离心率 比它们在T中离心率减少1。又因T的叶不能是中心点，所以T的 中心点在T1中。这样，若点u的离心率在T中最小，则在T1中依 然最小，即说明T的中心点是T1的中心点，反之亦然。因为T1的阶数k,所以，由归纳假设，T1的中心为一个点或两 个相邻点组成，即证明T的中心由一个点或两个相邻点组成。23确定图的中心有应用价值。例如，确定社区医院的修建位置，就可以建模成求图的 中心问题2、树的形心概念与性质设u是树T的任意一个顶点，树T在顶点u的分支是指包含u 作为一个叶点的极大子树，其分支数为顶点u的度数；树T在 u点的分支中边的最大数目称为点u的权；树T中权值最小的 点称为它的一个形心点。全体形心点的集合称为树T的形心 。24定理8 每一棵树有一个由一个点或两个邻接的点组成的形心。作业P43 习题2 ： 1，2，3，4，5，625Thank You !26
