函数的连续性

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1、第七讲 函数的连续性 内容提要1.函数的连续性； 2. 函数的间断点；3. 连续函数的和、差、积、商的连续性；4.反函数、复合函数与初等函数的连续性； 5. 闭区间上连续函数的性质.1. 理解函数在一点连续的概念，了解函数在一点处的左、 右连续概念以及函数在一个区间上连续的概念；2. 会判断函数间断点及其类型；3.了解连续函数的和、差、积、商的连续性，知道反函数 与复合函数的连续性，知道连续函数的保号性，了解初等函数 的连续性；4.掌握用连续性计算初等函数的极限；5.了解闭区间上连续函数的性质最大、最小值定理,熟 练掌握介值定理. 教学要求改变量,(可正可负)的改变量 ,（可正可负)当自变一、

2、函数的连续性 1. 自变量的改变量和函数的改变量（1）自变量的改变量（2）函数的改变量注:yx DD ,分别为整体记号,不能理解为及曲线上相应点的纵坐标的改变量。21. 0=11 . 122-=)1()1 . 1(-=ff)1()1 . 01(-+=ff解)()(00-D+=Dxfxxfy定义1如果0=)()(lim000-D+ Dxfxxf xlim 0=D Dy x 则称函数)(xfy =在0x 点连续.在上述定义中,)()(lim0 0xfxf xx= 从而定义2)()(lim0 0xfxf xx= 如果则称函数)(xfy =在0x 点连续.2.函数在点0x处的连续性指出: 定义1与定义

3、2是等价的.例2 证明函数1)(3+= xxf在2=x处连续证明9=)1(lim32+= x x)(lim 2xf x所以函数1)(3+= xxf在2=x处连续。【注】若)()(lim0 0xfxf xx= -,则称函数)(xfy =在0x点左连续。若)()(lim0 0xfxf xx= +,则称函数)(xfy =在0x点右连续。函数)(xfy =在0x 点连续的充分必要条件是:函数)(xfy =在0x 点既左连续且右连续 。因为结论:练习练习证由定义1知右连续但不左连续 ,3.函数在区间上的连续性在左端点ax =处右连续则称函数连续点的全体所构成的区间,称为函数的连续区间。bx =处左连续

4、, 且在右端点)(xf在闭区间上连续,()若函数)(xf在开区间内每一点都连续。()若函数)(xf在开区间内连续 , 则称在开区间内连续。在连续区间上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。证明4. 初等函数的连续性函数的连续性是通过极限来定义的 , 因此 ,由极 限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：法则1(连续函数的四则运算),设函数)(xf和)(xg 均在0x 点连续 , 则)()( xgxf、)0)(0xg都在0x点连续。 即法则2 (反函数的连续性) 单调连续函数的反函数在其对应的区间上是连续的。基本初等函数在其 定义域内是连续的。应用函数连续的定义与上述两个法则， 可以证明

5、设函数)(uf在点0u 处连续 ,函数)(xuj=在点0x 处连续 ,且)(00xuj= , 则法则3 说明连续函数的复合函数仍为连续函数，并可得如下结论：例如 0= 0)sinlimarctan(=x x)arctan(sinlim 0x x复合函数在点0x 处连续。(复合函数的连续性)法则3法则xx1 )1ln(+=0xlim解又由于函数uln 在eu=处是连续的 ,故1=ln=e)1ln( +xx0xlim令xu)1(+=x1e= 0x x+)1(limx1)1ln( += x 0xlimx1指出:解解练习练习定理由于基本初等函数在其定义域内是连续的 ，初等函数在其定义区间内是连续的。若

6、)(xf为初等函数 ,且0x 在其定义区间内 ,则这表明: 对连续函数在连续点求极限,只需求该点函数值.由以上法则，可得：例5 求2211limxx-23=1lim221-xx解因此，初等函数的定义区间就是它的连续区间。练习练习求下列函数的连续区间，并求极限：解1解2二、函数的间断点 如果函数)(xf在点0x处不连续 , 就称)(xf在点0x处间断 ,0xx =点称为函数)(xf的间断点或不连续点。 由函数连续性定义可知 ,间断点分类：间断点可分为以下几种类型,按左、右极限是否都存在来分类。（一）第一类间断点 (左、右极限均存在)但不相等;2.跳跃间断点1.可去间断点00+-均存在与,)(li

7、m)(limxfxfxxxx存在 ,)(lim0xf xx（二）第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在)例2 11)(2-=xxxf函数2=所以1=x为函数)(xf的可去间断点。令2)1(=f则函数)(xf在1=x点处就连续了。例3 函数 -=+=010001)(xxxxxxf1= 0)1(lim+=-x x由于左极限)(lim 0-xf x 1-=)1(lim 0-= +x x)(lim 0+xf x所以0=x点为函数)(xf的跳跃间断点。右极限对于可去间断点，我们可以补充或改变(当)(0xf有定义时)函数在0x 点处的定义 , (当)(0xf无定义时）使0x 点处连续。函数在指出：例4

8、函数11)(-=xxf在1=x点处 ，由于=-= 11lim 1xx)(lim 1xf x所以1=x为)(xf的第二类间断点。 （无穷型间断点）解练习练习是可去间断点,则补充或改变定义,使函数在该点连续。如果解则函数)(xf在1=x点处就连续了。解三、闭区间上连续函数的性质 下面介绍闭区间上连续函数的一些重要性质， 我们不证明，只给出几何说明。 定理1(最值性质) 则)(xf必存在最大值M和最小值m , 即在闭区间 ,ba上至少存在两点21, xx ,使得mM如 ,函数 -=-+=10100011)(xxxxxxf在闭区间1 ,-1 上有间断点0=x ,函数)(xf在闭区间1,-1 上不存在最

9、大值 ,也不存在最小值。又如 ,函数xxf1)(=在开区间)4, 1(内不存在最大值 ,也不存在最小值。是连续函数【注意】间断点的函数， 定理的结论不一定成立。(1)对开区间内的连续函数 或闭区间上有(2)函数的最大和最小值的点也可能是区间,ba的 端点 . 如函数12+=xy在2, 1上连续 , 它的最大值是5)2(=f, 它的最小值是3)1(=f 均在区间2, 1的端点上取得。定理2(介值性) 设函数)(xf在闭区间,ba上连续 , M和m分别是)(xf在区间,ba上的最大值和最小值 , 则对于满足Mm m的任何实数m至少存在一点,bax使得定理2指出：推论(方程根的存在性) 设函数)(x

10、f在闭区间,ba上连续 ,且0)()(bfaf ,),(bax使得0)(=xf则至少存在一点几何意义：例 证明方程2431xx=+在区间)1, 0(内至少有一实根。证明 设2431)(xxxf-+= 因为函数)(xf在闭区间1, 0上连续 ,又有=)0(f 1， 1)1(-=f 故0)1()0(ff ,根据推论可知， 至少存在一点)1, 0(x , 使0)(=xf ,即031)(24=-+=xxxf由推论知：练习练习证明证明小结 1. 函数在一点连续必须满足的三个条件;5. 间断点的分类与判别;2. 区间上的连续函数;第一类间断点:无穷型,振荡型.间断点6. 闭区间上连续函数的性质.可去型,跳跃型.第二类间断点:3. 连续函数的运算法则; 法则1（连续函数的四则运算法则）; 法则2（反函数的连续性）; 法则2（复合函数的连续性）; 4. 初等函数的连续性;