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1、第4章 控制系统的特性分析主要介绍控制系统稳定性 能控能观性分析方法对于一个给定的控制系统，稳定性分析 通常是最重要的41 稳定性分析连续系统的稳定性 根据闭环极点在s平面内的位置予以确定。如 果一个连续系统的闭环极点都位于左半s平面 ，则该系统是稳定的离散系统的稳定性 根据闭环极点在z平面的位置予以确定。如果 一个离散系统的闭环极点都位于z平面的单位 圆内，则该系统是稳定的以往在分析系统的稳定性时，在特征方 程不易求根的情况下，常采用间接的方法来 判定系统的稳定性，如利用Routh和Hurwize 稳定判据判定系统稳定性。随着MATLAB这样具有强大科学计算功能 的语言的出现，利用MATLA
2、B直接对特征方程 求根判定系统稳定性已变的轻而易举。411 直接求根判定系统稳定性例4-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为试判定系统的稳定性。MATLAB 程序如下： numo=0 0 0 0 1 deno=2 3 1 5 4 numc=numo denc=numo+deno z,p=tf2zp(numc,denc) ii=find(real(p)0) n=length(ii) if(n0),disp(system is unstable) else,disp(system is stable) end%求特征方程%求闭环极点实部大于0的个数运行程序，得到结果：system is unst
3、able说明1)在命令窗口可看到z =Empty matrix: 0-by-1 p =0.5230 + 1.1591i0.5230 - 1.1591i-1.5460 -1.0000 得知：有两个极点位于右半s平面2）利用MATLAB语句还可以得到系统的不稳定极点：0.5230 + 1.1591i0.5230 - 1.1591idisp(the unstable poles are:) disp(p(ii)运行得到结果：the unstable poles are:例4-2 已知一个离散控制系统的闭环传递函数为试判定系统的稳定性。num=2 1.56 1 den=5 1.4 -1.3 0.68
4、z,p=tf2zp(num,den) ii=find(abs(p)1) n=length(ii) if(n0),disp(system is unstable) else,disp(system is stable) endMATLAB 程序如下： 运行程序，得到结果：system is stable说明在命令窗口可看到z =-0.3900 + 0.5898i-0.3900 - 0.5898i p =-0.8091 0.2645 + 0.3132i0.2645 - 0.3132i所谓最小相位系统 对连续系统来说，除了系统本身是稳定的，系统 的所有零点还都必须位于左半s平面； 对离散系统来说，除
5、了系统本身是稳定的，系统 的所有零点还都必须位于z平面的单位圆内。很明显，利用MATLAB对稳定系统的零点情况进行 分析即可判定系统是否为最小相位系统利用MATLAB直接求系统零点、极点的判定方 法除了可以判定系统的稳定性外，同时还可以判 定系统是否为最小相位系统。考虑例4-2给出的稳定系统，输入下面的 MATLAB语句判定系统是否为最小相位系统mm=find(abs(z)1) nn=length(mm) if(nn0),disp(system is a nonminimal phase one) else,disp(system is a minimal phase one) endsyst
6、em is a minimal phase one运行得到结果：在MATLAB中，可以利用相关函数形 象的绘制出连续（离散）系统的零点、 极点图，从而判定系统的稳定性412 绘制系统零点、极点图判定稳定性考虑例4-1，可输入以下MATLAB语句来绘制连 续系统的零点、极点图 MATLAB 程序如下： numo=0 0 0 0 1 deno=2 3 1 5 4 numc=numo denc=numo+deno pzmap(numc,denc)由图可看出，有两个极点位于右半s平面，所以很容易 判定此连续系统是不稳定的考虑例4-2，可输入以下MATLAB语句来绘制离散 系统的零点、极点图MATLAB
7、 程序如下： num=2 1.56 1 den=5 1.4 -1.3 0.68 zplane(num,den)由图可看出，此离散系统的零点、极点都位于z平面的 单位圆内，所以可判定此此系统为最小相位系统线性定常系统，因为只有唯一的一个平衡点， 所以我们可以笼统地讲系统的稳定性问题。413 Lyapunov稳定性判据早在1892年， Lyapunov就提出了一种可普遍 适用于线性、非线性系统稳定性分析的方法。稳定性是相对于某个平衡状态而言的。对于其他类型系统则有可能存在多个平衡点 ，不同平衡点有可能表现出不同的稳定性，因此 必须分别加以讨论。对于线性定常系统，Lyapunov稳定性判据基于 以下
8、定理：如果对任意给定的正定实对称矩阵W，均存在正 定矩阵V满足下面的方程则称系统是稳定的，此方程称为Lyapunov方程设线性定常系统MATLAB中，Lyapunov方程可以由控制系统工 具箱中提供的lyap（）函数求解，调用格式为：V=lyap（A，W）例4-3 已知系统的状态方程为试分析系统的稳定性MATLAB 程序如下： A=2.25 -5 -1.25 -0.5;2.25 -4.25 -1.25 -0.25;0.25 -0.5 -1.25 -1;1.25 -1.75 -0.25 - 0.75 W=diag(1 1 1 1) V=lyap(A,W) det1=det(V(1,1) det2
9、=det(V(1:2,1:2) det3=det(V(1:3,1:3) det4=det(V(1:4,1:4)%生成矩阵V%判定矩阵V是否正定运行程序，得到结果：det1 =5.8617 det2 =2.7780 det3 =1.9008 det4 =1.2124说明 矩阵V是正定的，系统稳定能控性分析是系统输入对状态的控制能力能观性分析是系统输出对状态的反映能力4.2 能控能观性分析系统能控性和能观性这两个重要概 念，是Kalman于1960年首先提出来的， 它是设计控制器和状态观测器的基础。对n阶线性定常连续系统421 能控能观性判别其能控的充要条件为：能控性矩阵满秩，即其能观的充要条件为
10、：能观性矩阵 满秩，即对离散系统，能控性和能观性有上述类似结论例4-4 已知系统的状态空间表达式为试判定系统的能控性和能观性MATLAB 程序如下：A=0 6 -5;1 0 2;3 2 4 B=5;1;5 C=1 1 2 Qc=ctrb(A,B) n=rank(Qc) if(n=3),disp(system is controllable) else,disp(system is uncontrollable) end Qo=obsv(A,C) m=rank(Qo) if(m=3),disp(system is observable) else,disp(system is unobserva
11、ble) end运行程序，得到结果：system is controllable system is observable对系统的状态空间描述，经常由于状态变量选择的非唯一性，得到的状态空间表达式不唯一。在实际应用中，我们可根据所研究的问题选取相应的状态表达形式。将状态空间表达式化成对角线标准型或约旦标准型，对系统能控性和能观性的分析将十分方便对于系统的状态反馈则将状态空间表达式 化成能控标准型是比较方便的；对系统状态观测器的设计及系统辨识，则 将系统状态空间表达式化成能观标准型研究起 来比较方便。系统能控充要条件为： 控制矩阵B中没有元素全为零的行；系统能观的充要条件为： 输出矩阵C中没有元
12、素全为零的列。若系统状态空间表达式为对角线标准型系统能控充要条件为：控制矩阵B中与每个约旦块最后一行相对应 的行，其元素不全为零；系统能观的充要条件为：输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列 ，其元不素全为零。若系统状态空间表达式为对约旦标准型MATLAB中，提供了可将连续或离散系统状态表达式 化为对角线标准型或约旦标准型的jordan()函数。调用格式为： v,j=jordan(A) 其中， v为化A为对角线或约旦标准型的非奇异变换矩阵； j为所得的对角线或约旦标准型； j=inv(v)*A*v（MATLAB中j=inv(v)为矩阵v的逆）可通过所得的对角线或约旦标准型中的矩阵 BB=inv
13、(v)*B CB=C*v 来判定系统的能控性和能观性。试判定系统的能控性和能观性例4-5 已知系统的状态空间表达式为A=0 1 -1;-6 -11 6;-6 -11 5 B=0;0;1 C=1 0 0 v,j=jordan(A) BB=inv(v)*B CB=C*vMATLAB 程序如下：运行程序，得到结果： v =1 -3 36 -6 09 -12 3 j =-3 0 00 -2 00 0 -1 BB =-1.0000-1.0000-0.6667 CB =1 -3 3说明根据系统为对角线标准 型时系统能控性和能观 性的充要条件：系统既能控又能观矩阵A化成了对角线标准型是因为矩 阵A是特征值互
14、异。若系统矩阵A的特征值有重 根，则可将系统化为约旦标准型，来判定系统 的能控性和能观性例4-6 已知系统的状态空间表达式为 试判定系统的能控性和能观性A=0 1 0;0 0 1;2 3 0 B=0;0;1 C=1 0 0 v,j=jordan(A) BB=inv(v)*B CB=C*vMATLAB 程序如下：运行程序，得到结果： v =0.1111 0.6667 0.88890.2222 -0.6667 -0.22220.4444 0.6667 -0.4444 j =2 0 00 -1 10 0 -1 BB =1.00000.5000-0.5000 CB =0.1111 0.6667 0.8
15、889根据系统为约旦标准型 时系统能控性和能观性 的充要条件：系统既能控又能观说明422 能控性和能观性的对偶关系 能控性和能观性之间存在着对偶关系，Kalman 提出的对偶原理阐明了它们之间的这种关系考虑由下列方程描述的系统 若满足下述条件：则称系统 、 互为对偶若系统 是状态完全能控的（完全能观的） ，则其对偶系统 是状态完全能观的（完全能控的）。 即 系统 的能控性等价于其对偶系统 的能观 性系统 的能观性等价于其对偶系统 的能控 性。Kalman提出的对偶原理说明：利用对偶关系可以把系统能控性的分 析转化为对其对偶系统的能观性如果一个系统状态不是完全能控或能观， 我们可以将系统的状态空间按能控性和能观性 进行结构分解。这是状态空间分析中的一个重要内容，它 为最小实现问题的提出提供了理论依据。423 系统的结构分解的能控性矩阵的秩小于n，则存在一个相似变换，可将系统（A，B，C）进行能控与不能控分 解，使得到的系统新状态空间表达式为如果n阶系统其中构成了系统的能观子空间。MATLAB中，提供了将系统进行能控与不能控分解 的函数ctrbf()调用格式为 AB，BB，CB，T，K=ctrbf（A，B，C）其
