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1、微分方程基本概念及相关知识1第一节 微分方程的基本概念在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学 与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关 系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身， 而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才 有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程. 在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要 学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分 方程的解法以及它们的简单应用. 2定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程. 定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶.
2、 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本 书中只讨论常微分方程，如下例： 一阶二阶一阶3定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的解.微分方程的解的分类：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解: 不含任意常数的解.定解条件: 用来确定任意常数的条件.4初始条件: 规定微分方程中的未知函数及其若干阶 导数在某一点处的取值 。过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.5解6第二节 一阶常系数线性微分方程的解法7
3、一、可分离变量的方程为微分方程的通解.两边积分,为可分离变量的方程. 称则8解例19解例2分离变量，两边积分通解为为 所求特解为10二、齐次微分方程的微分方程称为齐次方程.2.解法 作变量代换代入原式得1.定义两边积分即得通解. 注意：须将u代回. 11例3解此题题不能分离变变量, 是齐次方程,12例4解1314三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.15齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法使用分离 变量法162. 线性非齐次方程常数变易法：作变换积分得所以原方程的通解为:17解例5通解为为 18齐次线性方
4、程1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； 3、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个 解是(2)的解； 4、方程(2)的任意两个解之差是(1)的解 .线性方程解的性质非齐次线性方程那么方程(2)的通解为19那么方程(2)的通解为对应齐次方 程的通解非齐次方程特解20的特解 ,线性方程解的叠加性质和的一个特解. 21电路中的一阶微分方程应用22232425第三节 二阶常系数线性微分方程的 解法26二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾一阶齐次线性方程1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是
5、(1)的解；27一、二阶常系数齐次线性方程解的性质1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(称线性无关),则上式为(2)的通解.定理1(2)28二、二阶常系数齐次线性方程的解法代数方程(3)称为为微分方程(2)的特征方程, 它的根称为为特征根(或特征值). (3)(2)29故它们线们线 性无关, 因此(2)的通解为为 (3)情形1 30情形2 需要求另一个特解31情形3 可以证明,是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为为 32小结特征根的情况通解的表达式 实根实根复根33解特征方程为故所求通解为例1例2解特征方
6、程为解得故所求通解为特征根为34解特征方程为故通解为例3特征根为35电路中的二阶微分方程应用363738对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个 解是(1)的解；2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 .定理2那么方程(1)的通解为39问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论 f (x) 的两种类型.用待定系数法求解.对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)那么方程(1)的通解为定理240则41情形1 若 r 不是特征根, 即情形2 若 r 是特征方程的单单根, 即42情形3 若 r
7、是特征方程的二重根, 即43综上讨论设特解为其中44解对应齐次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得 45解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程 ，原方程通解为例5得46解对应齐次方程通解特征方程特征根例6代入方程, 得47解对应齐次方程通解特征方程特征根例6注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多。 48解例7对应齐次方程通解特征方程特征根49此时时原方程的通解为为 50可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:51解例8所求通解为为 对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得 52解例9所求通解为为 对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得 53定理3 (非齐次线性方程的叠加原理 ) 和的特解,的一个特解,54例10解代入得55解代入得原方程通解为例1056解例11是对应齐对应齐 次方程的通解,但没有原方程的特解, 故(B)也不对对； 二阶阶非齐齐次线线性微分方程 5758解例12求导，原方程改写为再求导，59对应齐次方程通解特征方程特征根代入得 60初始条件: 61电路中的二阶微分方程应用6263
