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1、第第8 8讲讲 常微分方程常微分方程台州职业技术学院数学教研室 复习要求：n理解微分方程的概念，理解微分方程阶、解、通解、初始条件和特解的概念.n掌握变量可分离微分方程与齐次方程的解法.n会求解一阶线性微分方程.其中，为实常数，分别为x的n次，m次多项式) ()，() f(x)，为x的n次多项式,为实常数；其中n理解二阶常系数线性微分方程解的结构.n会求解二阶常系数齐线性微分方程.n会求解二阶常系数非齐线性微分方程（非齐次项限定为:微分方程是精确表示自然科学中各种基本定律和各种问题的基本工具之一.现代建立起来的自然科学和社会科学中的数学模型大多都是微分方程.在许多物理、力学、生物等现象中，不能
2、直接找到联系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们的导数或微分间的关系.含有未知函数的导数（或微分）的关系式。第1节 微分方程的基本概念常微分方程方程的阶数线性方程、非线性方程方程的解、通解、特解、所有解初始条件（定解条件）积分曲线（解的几何意义）初值问题、初值问题的解齐次方程、非齐次方程常微分方程含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.未知函数可以不出现，但其导数一定要出现.未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程.未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程.例常微分方程偏微分方程常微分方程的阶数微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶
3、数.一阶二阶一阶线性方程、非线性方程若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程.一阶二阶一阶非线性线性非线性齐次方程、非齐次方程在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项.自由项为零的方程，称为齐次方程.自由项不为零的方程，称为非齐次方程.一阶齐次非线性方程二阶非齐次线性方程一阶非齐次非线性方程微分方程的一般表示形式方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解.如果 n 阶微分方程的解中含有n 个相互独立的任意常数，则称此解为 n 阶微分方程的通解.一般说来，不含有任
4、意常数的解，称为方程的特解.通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用 其它方法直接由方程解出.所有解通解不能包含在通解内的所有特解.例解代入方程，得微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来.此时可求数值解故函数初始条件（定解条件）由自然科学、社会科学以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件.常微分方程初始条件称为初值问题（柯西问题）例解微分方程初始条件通解特解例解微分方程初始条件通解特解有何想法？积分曲线（解的几何意义）常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线.通解
5、的图形是一族积分曲线.特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线.常微分方程的初等方法介绍常微分方程的解法分离变量法常数变易法积分因子法变量代换法二阶线性常系数微分方程解法特征值法变量可分离方程 一阶线性齐方程一阶线性非齐方程变量分离变量分离常数变易常数变易第2节 一阶微分方程齐次方程变量 替换变量可分离方程 一阶线性齐方程一阶线性非齐方程变量分离变量分离常数变易常数变易变量可分离方程 齐次方程变量 替换一、变量可分离方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：则称原方程为变量可分离的方程.运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：其中C 为积分后出现的任意常数。将一个方程化为变量分离方程并求出其通解
6、的过程，称为分离变量法。积分的结果例解原方程即对上式两边积分，得原方程的通解例解对上式两边积分，得原方程的通解隐函数形式隐函数形式经初等运算可得到原方程的通解为你认为做完了没有？你认为做完了没有？原方程的解为例解两边同时积分，得故所求通解为你认为还需要讨论吗？为什么？你认为还需要讨论吗？为什么？因为只 求通解，所 以不必再讨 论了。例解原方程即两边积分，得故通解为曲线族的包络。工程技术中 解决某些问题时 ，需要用到方程 的奇解。二、齐次方程一阶方程中的函数可写成的函数，即则则称方程为齐为齐 次方程， 例如是齐次方程对齐次方程引入新的未知函数则有原方程化为可分离变量的方程或分离变量，得两端积分，
7、得求出积分后，再以代替便得所给齐次方程的通解例 解方程解 原方程写成 令则于是原方程为即分离变量，得两端积分，得或以代上式中的得所给方程的通解为三、一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程.方程称为一阶齐次线性方程.方程称为一阶非齐次线性方程.习惯上，称为方程所对应的齐方程.一阶齐线性方程的解运用分离变量法，得两边积分，得故表示一个 原函数是一变量可分离的方程的解存在，且唯一，其通解为例解故该一阶齐线性方程的通解为套公式套公式 ！例解先求此一阶齐线性方程的通解：故该初值问题的解为一阶非齐线性方程的解比较两个方程：请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？请问，你有什么想
8、法？它们的解的形式应该差不多.但差了一点什么东西呢？行吗行吗 ?!?!怎么办？故即上式两边积分，求出待定函数以上的推导过程称为“常数变易法” .这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性 问题推出相应的非线性问题.例解所以，方程的通解为例解不是线性方程原方程可以改写为这是一个以 y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中故原方程的通解为其中，为实常数，分别为x的n次，m次多项式) ()，() f(x)，为x的n次多项式,为实常数；其中n理解二阶常系数线性微分方程解的结构.n会求解二阶常系数齐线性微分方程.n会求解二阶常系数非齐线性微分方程（非齐次项限定为:复习要求：第3节 二阶常系数线性
9、微分方程一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐次线性微分方程的解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解一、高阶线性微分方程的一般理论n 阶线性方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐次方程。我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可 自然推广至 n 阶线性方程中。 1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1) 叠加原理的解，则它们的线性组合也是方程 (2) 的解，你打算怎么证明这个原理？证的解，则它们的线性组合也是方程 (2) 的解。推推 广广(2) 线性无关、线性相关例证由三角函数知识可知，这是不可能的，故例证(3) 二阶齐线性微
10、分方程解的结构定理定理 1 1的两个线性无关的解，则是方程 (2) 的通解。2. 二阶非齐线性微分方程解的结构(1) 解的性质性质性质 1 1的一个特解，则是原方程的一个特解。性质性质 2 2的一个特解，则是方程的一个特解。性质性质 3 3是其对应的齐方程的一个特解。可以直接验证性质1性质3 .如何求特解？如何求特解？定理定理 3 3的通解，则是方程 (1) 的通解。由性质1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐线性方程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征根二、二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程，即特征方程特征方程二阶常系数齐
11、线性微分方程的特征方程为是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为由求根公式另一个解为：于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为3) 特征方程有一对共轭复根：是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。 欧拉公式：由线性方程解的性质：均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的.故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可表示为二阶常系数齐线性微分方程特征方程特 征 根通 解 形 式例解例解例解故所求特解为二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐线性方
12、程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征根复习二阶常系数齐线性微分方程特征方程特 征 根通 解 形 式三、二阶常系数非齐线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，它对应的齐方程为我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下(2) 的特解。方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为单根二重根一对共轭复根你认为方程应该你认为方程应该 有什么样子的特解？有什么样子的特解？假设方程有下列形式的特解：则代入方程 (2) ，得即方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有方程 (2) 有下列形式的特解:由多项式求导的特点可知，应
13、有方程 (2) 有下列形式的特解:由多项式求导的特点可知，应有方程 (2) 有下列形式的特解:定理定理 1 1当二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：其中：例1解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得比较两边同类项的系数，得故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为例2解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得上式即故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为例3解对应的齐方程的通解为综上所述，原方程的通解为二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐线性方程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征根复习二阶常系数齐线性微分方程特征方程特 征 根通 解 形 式当二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：其中：你有什么想法没有？你有什么想法没有？欧拉公式：性质性质 4 4的一个特解。或者：如果则设分别为次多项式，其中例1解代入上述方程，得从而，原方程有一特解为例1另解代入上述方程，得从而，原方程有一特解为例2解代入上述方程，得比较系数，得从而，原方程有一特解为故例解由上面两个例题立即可得祝寒假愉快、复习顺利！
