直线与圆的位置关系

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1、高考总复习.文科.数学第十五章 选考部分第二节 直线与圆的位置关系第一讲 几何证明高考总复习.文科.数学课前自主学案 高考总复习.文科.数学 知识梳理 1.与圆有关的角的概念 （1）圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角（ 如下图1中的AOB）. （2）圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角（ 如下图2中的BAC）. （3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切 的角叫做弦切角（如下图3中的BAT）.高考总复习.文科.数学2.与圆有关的角的性质（1）圆周角定理： 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（2）圆心角定理： 圆心角的度数等于它所对弧的度数.推论1

2、：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.（3）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.高考总复习.文科.数学3 圆的切线的判定和性质（1）圆的切线的判定经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）圆的切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.高考总复习.文科.数学4 与圆有关的比例线段（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点

3、到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.高考总复习.文科.数学5 圆内接四边形的判定和性质（1）圆内接四边形的判定如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 .如果四边形一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的 四个顶点共圆.（2）圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.6 直线和圆的位置关系三种特殊关系：相切、相离、相交. 高考总复习.文科.数

4、学 基础自测 1.（2009年广东卷）如下图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4,ACB=30,则圆O的面积等于_解析：连结AO，OB，因为ACB=30,所以AOB=60,AOB为等边三角形，故圆O的半径r=OA=AB=4,圆O的面积S=r2=16 .答案：16高考总复习.文科.数学2.如图，已知AB是O的直径，AB=2，AC和AD是O的两条弦，AC= ，AD= ,则CAD的弧度数为_解析：答案：高考总复习.文科.数学3.（2009年滨海新区五校联考）已知圆O直径为10，AB是圆O 的直径，C为圆O上一点，且BC=6，过点B的圆O的切线交AC 延长线于点D，则DA=_ 解析：BD2=DCDA

5、=DC（DC+CA），BC2+DC2=BD2,AC2+BC2=AB2.把AB=10，BC=6代入以上三式解得DA=12.5.答案： 12.5高考总复习.文科.数学4. (2009年惠州第三次调研)如上图所示，O的直径AB=6 cm，P是AB延长线上的一点，过P点作O的切线，切点为C，连接AC，若CPA=30，PC=_解析：连接OC，PC是O的切线， OCP=90 CPA=30，OC=AB/2= tan30=3/PC，即 答案： cm高考总复习.文科.数学课堂互动探究 高考总复习.文科.数学与圆有关的角度计算如图，P是O的直径AB延长线上的一点， PC与O相切于点C，APC的平分线交AC于点Q，

6、 则PQC=_解析：答案：45。高考总复习.文科.数学变式探究 如下图，ABC内接于圆O，过点A的切线与BC的延长线交于 点D，若B=40, ACB=78,则D=_解析：AD切圆于点A， DAC=B=40, 又ACB=D+DAC, D=ACB-DAC=78-40=38. 答案：38 高考总复习.文科.数学与圆有关的比例线段 （2009年阳江模拟）如下图所示，O和O都经过A、B两点，AC是O的切线，交O于点C，AD是O的切线，交O于点D，若BC=2，BD=6，则AB的长为_高考总复习.文科.数学解析：AC、AD分别是O、O的切线，AB是两圆的公共弦，由弦切角定理得CAB=ADB,DAB=ACB,

7、ABCDBA,BC/AB=AB/BD,AB 2=BCBD=26,AB=答案： 点评：本题根据弦切角定理推出角相等，从而转化为相似三角形问题来解决. 高考总复习.文科.数学 变式探究 2.如下图所示，EB是O的直径，A是BE延长线上一点，过A作 O的切线AC，切点为D，过B作O的切线BC，交AC于点C， 若EB=BC=6,则AD=_高考总复习.文科.数学解析：连结OD，AC、BC都是O的切线，CBAB,ACOD,CD=CB=6,AD 2=AEAB，且ADOABC，AO/AC=AD/AB=OD/BC=1/2，AB=2AD，AD2=AEAB，AD=2AE,AO=AE+3,在RtADO中，AO2=AD

8、2+OD2，(AE+3)2=4AE+9,解之得，AE=2,AD=4.答案： 4高考总复习.文科.数学切线、割线定理的应用 如下图所示,PA,PC切O于A,C,PBD是O的割线,求证:ADBC=ABDC. 证明：PA切O于A,PAB=PDA,又APB=DPA,PABPDA,AD/AB=PA/PB，又PC切O于C，PCB=PDC,又CPB=DPC,PCBPDC,DC/BC=PC/PB，又PA=PC,故AD/AB=DC/BC,ADBC=ABDC. 高考总复习.文科.数学 变式探究 3.如下图所示,PT切O于T,PAB,PCD是割线,AB=35,CD=50,且 ACBD=12,则PT=_ 解析：A,B

9、,C,D四点共圆, ABCD是圆内接四边形, PAC=PDB,又APC=DPB, PACPDB, PC/PB=PA/PD=AC/BD=1/2, 即PC/PA+35=PA/PC+50=AC/BD=1/2, PA+35=2PC,PC+50=2PA,可解得 PC=40,PA=45,PT切O于T, PT2=PCPD=40(40+50)=3600,即PT=60. 答案： 60高考总复习.文科.数学圆内接四边形的性质与判定 已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的 延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB， FC. （1）求证：FB=FC; （2）若AB是ABC的外接圆的直径，EAC=

10、120, BC=6, 求AD的长. 高考总复习.文科.数学解析： （1）证明：因为AD平分EAC,所以EAD=DAC.因为四边形AFBC内接于圆， 所以DAC=FBC,所以EAD=FAB=FCB,所以FBC=FCB,所以FB=FC.（2）因为AB是ABC的外接圆的直径，所以ACD=90. 因为EAC=120,所以DAC=1/2EAC=60,D=30.在RtACB中，因为BC=6,BAC=60,所以AC=.又在RtACD中，D=30, AC= ,所以AD=高考总复习.文科.数学点评：本题所用的知识点有：圆的内接四边形的性质；角平分线的概念；特殊直角三角形的性质. 高考总复习.文科.数学变式探究

11、如右图，已知CA、CB是O的两条切线，A、B是切点，OC交直线AB于D，OF垂直于CF于F，交直线AB于E，求证：ODOC=OEOF=OA2. 解析：AC、BC是O的切线， A、B为切点， OCAB于D. 在COA中，CAO=90,由射影定理， 有：OA2=ODOC. 又OFCF于F，CDE=EFC=90. 故D，C，E，F四点共圆. ODOC=OEOF=OA2.高考总复习.文科.数学温馨提示 高考总复习.文科.数学1.和圆有关的问题，常常以圆有关的角（圆心角、圆周角、弦切角等）作为条件，因此熟练掌握与运用这些角的性质，是顺利解决问题的关键.2.和圆有关的问题，常常要添加适当的辅助线，转化为相

12、似三角形问题来解决.高考总复习.文科.数学题型展示台 高考总复习.文科.数学（2009年辽宁卷）已知ABC中，AB=AC，D是 ABC外接圆劣弧 上的点（不与点A，C重合），延长BD 至E. （1）求证：AD的延长线平分CDE; （2）若BAC=30, ABC中BC边上的高为 ，求 ABC外接圆的面积.高考总复习.文科.数学解析：（1）如右图，设F为AD延长线上一点 A,B,C,D四点共圆， CDF=ABC 又AB=AC ABC=ACB, 且ADB=ACB, ADB=CDF, 对顶角EDF=ADB,故EDF=CDF, 即AD的延长线平分CDE.高考总复习.文科.数学（2）设O为外接圆圆心，连接

13、AO交BC于H，则AHBC.连接OC，由题意OAC=OCA=15,ACB=75,OCH=60.设圆半径为r,则解得r=2,外接圆的面积为4 高考总复习.文科.数学如图，点A，D，F，C在O上，点B在AF的延长线上，且CA=CB=CD,AF与CD交于E，求证：FD=FB.解析：连接CF，AD， A,D,F,C四点共圆， CFA=CDA CA=CD,CDA=CAD,CFA=CAD. CFA=B+BCF,CAD=CAB+DAF, B+BCF=CAB+DAF CA=CB,B=CAB,BCF=DAF, 又A,D,F,C四点共圆，DAF=DCF, BCF=DCF. CD=CB,CF=CF, CDFCBF.

14、 FD=FB.高考总复习.文科.数学题型训练 1.如下图，AB是O的直径，C是O外一点，且AC=AB，BC交 O于点D.已知BC=4,AD=6，AC交O于点E，求四边形ABDE的 周长. 解析：因为AB是O的直径，所以ADBC,所以AD是ABC的中线，所以AB=AC= .BD=DC=2，由DEC=B=C,所以DE=DC=2.高考总复习.文科.数学2. 如右图所示，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是O的切线；（3）若FB=FE=2，求O的半径 解析：(1)证明：CHAB，DBAB，CHBD，AEHAFB，ACEADF.EH/BF=AE/AF=CE/FD，HE=EC，BF=FD即F是BD中点 高考总复习.文科.数学(2)证明：法一：如右图所示，连接CB,OC，AB是直径，ACB=90，F是BD中点，BCF=CBF，又BD与O相切于点B，OBD=OBC+CBF=90，又OC