中学数学教学论(7,8,9) (1)

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1、第7章 数学概念教学7.1 数学概念及其特点概念是思维的基本形式之一，反映客观事物的一般的、 本质的特征。人们对客观事物的认识一般是通过感觉、 知觉形成观念（表象），这是感性认识阶段。再经过分 析、比较、抽象、概括等一系列思维活动，把所感觉到 的事物的共同特点抽象出来，从而认识事物的本质属性 ，形成概念，这是理性认识阶段。理性认识在实践的基 础上不断深化，概念相应地也就进一步获得发展。7.1.1 数学概念数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质 属性在思维中的反映。有些数学概念是直接反映客观 事物的。例如，自然数、点、线、面、体等。然而， 大多数数学概念是在一些数学概念的基础上，经过多

2、次的抽象概括过程才形成和发展的。例如，无理数、 复数的概念，就是分别是在有理数系和实数系的基础 上产生的；而关系、映射、群、环、域等概念的产生 与发展的过程就更复杂了。数学概念包含内涵和外延两方面。 内涵：概念所反映对象的本质属性。外延：内涵的对 象的全体。例如：偶数这个概念内涵是“能被2整除的 数”，外延是全体偶数。 内涵和外延之间的关系是反变关系。内涵扩大时外延 缩小。例如：四边形的内涵加上“两组对边分别平行 ”后是平行四边形的概念，那么外延就相应缩小了。7.1.2 数学概念的特征 1.抽象性 数学概念代表了一类事物的本质属性，决 定了它的抽象性，已远远脱离具体现实，且抽象程度 越高距离现

3、实越远。但是不管它如何抽象，高层次的 抽象又总是以低层次的事物为具体内容的。也就是低 抽象度的概念是高抽象度概念的具体模型。例如，数 字是抽象字母的具体模型，而字母又是抽象函数的具 体模型。并且数学概念始终是数学命题、数学推理的 基础成分，它必然落实到具体的数、式、形之中。2. 符号化 数学概念往往用特定的数学符号表示，表现 出数学符号的形式化特征。比如：三角形用 ,对数 用符号logab.利用数学符号，数学概念的表现形式简 明、准确，而且使数学概念在符号体系这种纯形式化 中得以抽象和发展。因此，符号仍然是数学概念抽象 性的一种表现。3. 系统性 在一个特定的数学体系中数学概念之间存在着一 定

4、的逻辑关系，使得数学概念更加系统化，进而公理化， 而数学公理是概念系统化的最高表现形式。 例如，因式公因式因式分解化简分式分 式运算解分式方程；一次函数二次函数有 理分式函数指数函数对数函数三角函数 反三角函数等概念之间都有其内在的联系。明确概念的 系统性，有利于加深对有关概念的理解，也便于学生记 忆。 4. 简明化 数学概念借助数学符号将具体事件抽象化，使 得一类事物的本质特征可以用某些简明形式表现出来。例 如：函数y=f(x),可以表示水库的容量和水深之间的关系， 匀速运动中路程与时间之间的关系等。7.1.3 数学概念的定义方式。1. 属加种差定义法。这种定义法是中学数学中最常用 的定义方

5、法，该法即按公式：“邻近的属+种差=被定 义概念”下定义，其中，种差是指被定义概念具有而 它的属概念的其他种概念不具有的属性。例如，平行 四边形的概念邻近的属是四边形，平行四边形区别于 四边形的其他种概念的属性即种差是“一组对边平行 并且相等”，这样即可给平行四边形下定义为“一组 对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形”。 利用邻近的属加种差定义方法给概念下定义，一般 情况下，应找出被定义概念最邻近的属，这样可使种 差简单一些。 例如：下列两个定义： 等边的矩形叫做正方形； 等边且等角的四边形叫做正方形。 前者的种差要比后者的种差简单。2、揭示外延的定义方法。数学中有些概念，不易揭示其内 涵，

6、可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。常见的 有以下种类： （1）逆式定义法。这是一种给出概念外延的定义法，又叫 归纳定义法例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余 弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物 线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等 等，都是这种定义法 （2）约定式定义法。揭示外延的定义方法还有一种特殊形 式，即外延的揭示采用约定的方法，因而也称约定式定义 方法。例如， ，就是用约定式方法定义的概 念。7.2 数学概念学习的心理过程及教学模式学生获得数学概念的三种传统方式：概念的形成、概 念的同化和概念的顺应。 7.2.1 数学概念的形成人们对一类数学对象中

7、若干不同的例子进行反复感 知、分析、比较、抽象、归纳概括出这类数学对象的 本质属性而获得概念的方式。这一形成过程就是发现 学习的过程。在此过程中，学习者要不断地识别和区 分事物在数量关系和空间形式方面的本质属性和非本 质属性，最终掌握概念的本质属性。以概念的形成方式获得精确数学概念的心理过程： （1）辨别刺激模式； （2）通过比较、类比等方法找出共同属性； （3）通过抽象、检验确认本质属性； （4）概括形成概念。例：圆周角概念的形成学习 教师依次呈现下面图形：oo学生观察以上图形中画出来的角是不是圆周角，经过反 复的检验和校正，学生发现圆周角的本质属性“顶点在 圆周上且两边均与圆相交的角”，最

8、终形成圆的正确概 念。数学概念形成教学模式具体步骤： 1。教师提供更多的有关概念的例证； 2。抽象出例证的共同属性； 3。将概括出的本质属性与原有的概念联系起来，扩大 重建原有知识结构； 4。将本质属性推广到同类数学对象中去，明确新概念 的内涵和外延，用准确精炼的数学语言进行表述。 “等比数列”概念的教学片段在教学中“等比数列”概念时，可让学生观察数列：1,2,4,8,16,323,9,27,54,1628,4,2,1,0.5,0.25学生容易从中发现“2倍”、“3倍”、“0.5倍”的关系；二如果给出 的是如下数列：1,1,1,1，1,-1,1,-1,1000,1100,1210,1331,学

9、生会因为种种非本质属性的其他干扰因素而无法做出正确判断。7.2.2 数学概念的同化 数学概念的同化主要利用认知结构中适当的旧概念来理 解新概念。随着学生年级的升高和知识的积累，概念同 化逐渐成为他们获得概念的主要方式。概念同化实际是 奥苏贝尔的认知结构同化论在概念教学中的应用，本质 上是根据学生已有认知结构设计教学，帮助学生形成良 好的认知结构，提高概念教学的水平。概念同化虽然不 需要经过概念形成过程中所包含的辨别、抽象、分析和 概括等相对复杂的心理过程，其关键属性是以定义的形 式直接揭示，但是概念的直接揭示不能等同于教学的简 单、空洞。以概念的同化方式来学习数学的新概念，必须具备三 个条件：

10、一、学习者必须具备学习的愿望和动力； 二、新概念必须具备逻辑意义；三、学习者原有的认 知结构中必须具备同化新数学概念所需要的概念。 以概念同化方式获得数学概念的心理过程： （1）阅读数学概念的定义； （2）以旧观念来明确数学概念定义的内涵和外延； （3）区分和联系新旧数学概念； （4）概括新数学概念。概念同化教学模式 五阶段：（1）揭示数学概念的关键属性，给出定义、名称及符号；（2）通过对数学概念特例的讨论分析，突出概念的本质属 性； （3）使新概念与原有概念建立联系，把新的数学概念纳入 到原有概念体系中，同化新概念； （4）通过正、反例证辨认，使新的数学概念与已有数学 认知结构中的数学概念分

11、化； （5）把新的数学概念纳入到相应的数学概念体系中，使数 学概念融会贯通，组成一个整体。例：对“函数单调性”教学的基本认识 就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可分为三个 阶段： 经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的 具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字 越多，我的知识就越多”等； 形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量 变化的趋势，如“y随着x的增大而减小”； 抽象概括阶段（进入高中以后），能进行脱离具体和直观对象的抽象 化、符号化的概括与操作，即高中教材上“函数单调性”的定义与运 用。 “函数单调性”

12、的教学，应根据思维“最近发展区”理论，在学生已有 的知识经验中寻找新知识的“生长点”，以“概念同化”的形式进行教 学。“函数单调性”的教学是通过学生较为熟悉的具体函 数图像入手引入的，本身即是数形结合的一个范例， 可以说发现函数单调性的过程，就是将数学图形语言 （函数的图象）翻译成数学符号语言（函数单调性的 形式化表述）的过程。函数单调性教学处理成功与否 的关键在于能否使学生将对动态的函数图象的观察得 到的结论用静态的符号语言描述出来。这个过程大致 可以分为两个步骤：一是让学生经历多个函数图象的 轨迹变化趋势的观察，形成对函数单调性本质特征的 认识，这一步要尽可能地淡化形式；二是用形式化的 数

13、学语言概括出函数单调性这个“对象”的本质特征 ，回到形式化定义的道路上来。概念的形成与同化的关系：概念的形成以学生的直接经验为基础的，用归纳的 方式抽象概括一类数学对象的本质属性，达到对概念的 理解。概念的同化以学生的间接经验为基础，以数学语 言为工具，依靠新旧概念的相互作用去理解概念。他们 不会相互独立存在。概念的形成教学耗费时间，但有利于培养学生的观 察、发现问题的能力；概念的同化教学节约时间，有利 于培养学生的抽象和逻辑思维能力。因此，两种教学形 式应该结合起来综合运用，取长补短，互相补充。7.2.3 数学概念的顺应及教学当原有的数学认知结构不能同化新的数学概念时，就 要调整、调节或改变

14、原有的数学认知结构，以适应新 的变化情境，从而便于概括新的数学概念。例： “正数、负数”概念的顺应学习 七年级新生小学阶段长期接触的是算术数，在日常生活学习 中已经建立了算术数的思维定势。因此，原有的知识结构中 无法接受和同化正数、负数概念。因此必须改变原有的关于 算数的概念的知识结构。 具体操作： （1）通过概念形成方式帮助学生形成新概念“现实世界中 大量存在着具有相反意义的量”。 （2）现实运算和实际使用时，只有算术数是远远不够的。 （3）如果把其中一种量规定为正数，另一种量就是负数。7.4.2 杜宾斯基的APOS理论及相关教学模式 美国学者杜宾斯基(E.Dubinsky)提出的APOS理

15、论, 是 以建构主义为基础的数学学习理论，它的核心是引导 学生在社会线索中学习数学知识，分析数学问题情景 ，从而建构他们自己的数学思想。根据上述想法，杜 宾斯基成功地帮助大学生们学习了一系列与微积分， 离散数学，抽象代数等学科分支有关的概念， 如群， 子群，陪集，商群，等等。POS理论是一种建构主义学习理论，该理论 集中于对特定学习内容数学概念学习过程的研究，它指出学生数学概念学习过程是建构的， 并表明建构的顺序层次。强调在学习数学概念中 首先处理的数学问题要具有社会现实背景，并要 求学生开展各种各样的数学活动，活动中学生在 已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽 象，对概念所具有的直观背

16、景和形式定义进行必 要的综合，从而达到建构数学概念的目的。 1. 四阶段模型杜宾斯基认为，学生学习数学概念就是要 建构心智结构，这一建构过程要经历以下4个阶段 （以函数概念为例）：第一阶段操作(或活动)（action）阶段这里的活动是指个体通过一步一步的外显性 （或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象. 数学教学是数学活动的教学，操作运算行为是数学认 知的基础性行为。学生与数学家一样， 要亲自投入，通过实际经验来获得知识，虽然这 种实践性与物理、化学、生物等实验科学的观察 试验行为所不同，但数学活动仍需实际操作演算和头 脑中的心理操作思想实验，没有物理操作和心理 的操作，数学概念将成为无源之水，无本之木。例如，理解函数概念需要进行活动或操作。 在有现实背景的问题中建立一种函数关系y=2x,要求个体计算出在一