奈奎斯特稳定判据

《 奈奎斯特稳定判据》由会员分享，可在线阅读，更多相关《 奈奎斯特稳定判据（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)是根据开环频率 特性曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。具有以下特点 ：(1) 应用开环频率特性曲线就可以判断闭环稳定性。(2) 便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响。(3) 很容易研究包含延迟环节系统的稳定性。(4) 奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。5.4.1 5.4.1 辅助函数辅助函数F F( (s s) ) 如图示的控制系统，G(s) 和H(s)是两个多项式之比 G(s)R(s)C(s ) +H(s) 1开环传递函数为 闭环传递函数为 把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅助 函数， 记作F(s)， F

2、(s)仍是复变量s的函数。=1 + Gk(s)2显然，辅助函数和开环传函之间只相差1。考虑到物 理系统中，开环传函中m n，故F(s)的分子和分母两个 多项式的最高次幂一样，均为n， F(s)可改写为：F(s)具有如下特征：1）其零点和极点分别是闭环和开环特征根；2）零点和极点个数相同；3） F(s)和G(s)H(s)只相差常数1。式中， zi和pi分别为F(s)的零点和极点。3F(s)曲线从B点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。j0sziAF(s)ImRe 0FB5.4.2 2 幅角原理幅角原理在 s 平面上任选一点 A 通过映射F(s)平面上F(A)。设s只包围zi ，不包围也不通过任何极点

3、和其他零点 。 从A点出发顺时针转一周回到A4幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个 F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在 F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和 Z之差，即R = P ZN若为负，顺时针。5. 4 . 3 5. 4 . 3 奈氏判据奈氏判据（1）0型系统s为包围虚轴和整个右半平面。 s平面s 映射 F(s) 正虚轴 j (:0) F(j) ( : 0) 负虚轴 j (: 0) F(j) ( : 0) 半径的半圆 ( 1, j0)点0js+5F(j)和G(j)H(j)只相差常数1。 F(j)包围原点就 是G(j)H(j

4、)包围(-1，j0)点。GH平面0F平面1对于G(j)H(j): 0 ，开环极坐标图；: 0，与开环极坐标图以轴镜像对称；F平面( 1, j0)点就是GH平面的坐标原点。6奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s 右半平面根 的个数为P，开环奈氏曲线（ : 0 ）包围(1， j0)点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根 的个数为Z，且有Z = P R若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z0，闭环系统是不稳定的。或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围( 1，j0)点时，则闭环系统是稳定的。当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围 (1，j0)点 P圈时，闭环系统是稳定的。7例5-10 判断系统稳

5、定性（2） p = 0 ，R 2 z p R 2 0 闭环系统不稳定的。Rep = 0 ReIm0 = 0解：由图知（1）p = 0 且 R = 0闭环系统是稳定的。ReIm01p = 0 = 0 8（3） p = 0 ，R 0 闭环系统是稳定的。 ReIm01 = 0 p = 09试用奈氏判据判断系统的稳定性。例5-11 一单位反馈系统，其开环传函当 = 0，Gk (j0) = k180 当 ，Gk (j) = 090 ReIm0 = 0 k解：已知 p = 1 频率特性 10当 k 1 ，R= 1 z = p R = 0 闭环系统是稳定的 。当k 1 ， k 115(3) 由奈氏判据判稳的

6、实际方法用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从 0时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0 )点的圈数 R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s 右半 平面根的个数P，根据公式Z = P 2R 来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为N， 则绘制开环极坐标图后，应从 =0+对应的点开始，补作 一个半径为 ，逆时针方向旋转N90的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断 系统的稳定性。16重新做例5-10 判断系统稳定性。（2） p = 0 ，R 1 z p 2R 2

7、0 闭环系统不稳定的。Rep = 0 ReIm0 = 0解：由图知（1）p = 0 且 R= 0闭环系统是稳定的。ReIm01p = 0 = 0 17（3） p = 0 ，R 0 闭环系统是稳定的 。ReIm01 = 0 p = 018例5-13 已知系统的开环传函为起点： Gk(j0) = 270 终点： Gk(j) = 090 与坐标轴交点： x =101/2 Re( x) = 0.1k开环极坐标图如图0j-101用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数知p = 1 （2）作开环极坐标图19ImRe0=0增补线1 0.1k(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图当 0.1

8、k 10时， R =1/2，z = p 2R = 0 闭环系统是稳定的。20ReIm01 (+)()5.4.4 5.4.4 伯德图上的稳定性判据伯德图上的稳定性判据 由图可知，幅相曲线 不包围(1，j0)点。此结 果也可以根据 增加时幅 相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的次数决定。R = N N 自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区 间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。21-180()/()0L()/dB()(+)对数频率稳定判据： 一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根 个数Z，可以根据开环传 递函数s 右半平面极点数 P 和开

9、环对数幅频特性为正值的所有频率范围内， 对数相频特性曲线与 1802k 线的正负穿越 次数之差R = N N确定Z = P 2RZ为零，闭环系统稳定；否则，不稳定。22例5-14 一反馈控制系统其开环传递函数 解： 由开环传递函数知 P = 0 ，作系统的开环对数 频率特性曲线 180()/()0 L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec270辅助线用对数稳定判据判断系统稳定性。23显见 N = 0，N =1 R = N N = 1 Z = P 2R = 2故系统不稳定。 G(s)H(s)有两个积分环节N =2 ，故补画了0到180 的辅助线。24例5-15 一反馈控制系统其开环传递

10、函数 解： 由开环传递函数知 P = 1 。 作系统的开环对数频率特性曲线。() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 ) （T1T2）当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故 补画了180到270的辅助线。用对数稳定判据判断系统稳定性。25L()/dB1/T140dB/dec180()/()02701/T220dB/dec20dB/dec90gc（T1T2）26() 当g 1，N = 1，N =1/2 R = N N = 1/2 Z = P 2R = 0故系统稳定。 () 当g c 时，即A(g) 1，N = 0，N =1/2 R = N N = 1/2 Z = P 2R = 2故系统不稳定。27