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1、第四章、级 数基本内容：1、复数项级数(概念和收敛的充要条件)。 2、幂级数 (收敛圆、收敛半径的计算)3、函数的泰勒级级数、洛朗级数展开式。重点：收敛半径、级数展开式。 1 复数项 级 数（常数项级数） 1、复数列的极限： 2、复数项级数：复习掌握一、正项级数审敛法：2 幂 级 数 1、幂级数：3 泰 勒 级 数幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数。研究：一个解析函数是否能用幂级数来表达？ 问题：泰勒级数可以将解析函数展开为幂级数，但这样的 展开式是否唯一呢？解析函数泰勒展开式的方法：(1)、直接法：直接用泰勒展开定理，根据函数的导数求系数。 (2)、间接法：借助一些常用函数的泰勒展开式，以唯
2、一性为依据，运用 幂级数的性质及复合运算得到解析函数的泰勒展开式。2、一些常用初等函数的泰勒展开式：一、讨论下列双边级数：4 洛朗级数双边级数可以分为两部分： 收敛区域：为圆环域和函数性质：在收敛圆环域内，是解析函数；可以逐项求导；逐项求积分。级数的正整次幂部分称为解析部分； 级数的负整次幂部分称为主要部分；问题：洛朗级数展开式是否唯一呢？洛朗级数展开的求法：（1）直接法：由定义求. 太繁杂，一般不用。（2）间接法： 借助一些常用函数的级数展开式，以唯一性为 依据，运用幂级数的性质、代数运算、复合运算 、求导和积分等得到解析函数的洛朗展开式。三、在计算闭路积分中的应用第四章 小结（4条）1、
3、复数项级数收敛:(1)复数列 收敛的充要条件: 同时收敛（定理一 ）(2)复级数: （定理二） 收敛的充要条件: 同时收敛.(3)复级数绝对收敛: （定理三）绝对收敛的充要条件: 同时绝对收敛. 2 、幂级数：(1)Abel定理:收敛范围为圆域,圆内绝对收敛,圆外发 散,圆上不定。(2)收敛半径求法:(3)性质:和函数在收敛圆内解析,可逐项求导,可逐项积分。 3 、泰勒级数: 定理:在以 为中心的圆域内解析的函数 f(z) ， 可以在该圆域内展开成(z- )的幂级数。泰勒级数展开式求法:直接法,间接法。 与实变函数相比有不同: 复变函数:解析函数 实变函数:即使任意阶导数存在也不一定能展开成级数.4、洛朗级数：
