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1、 双曲线的几何性质陈爱民 一、知识再现前面我们学习了椭圆 的简单的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率.我们来共同回顾一下椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)几何性质的具体内容及其研究方法.椭 圆标准方程x2/a2+y2/b2=1(ab0)几何图形范围对称性顶点a、b、c的 含义离心率e定 义B2B1yxA2A10F1F2|x |a 、|y | b x2/ a2 1 、y 2/ b2 1中心对称，轴对称 -x代x、-y代yA1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)分别令x=0，y=0a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2焦距与长
2、轴长的比 e=c/a0b0)x2/a2-y2/b2=1(a0、 b0)几何图形范围对称性顶点a,b,c的含义离心率e 的定义x2 /a2 1 、y 2/ b2 1-x代x、-y代y分别令x=0，y=0x a 或 x -a中心对称，轴对称A1(-a,0 ) 、A2(a,0)a （实半轴长）c （半焦距长） b （虚半轴长） a2=c2-b2焦距与实轴长的比 e=c/ae1a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2焦距与长轴长的比 e=c/a00,b0)y2/a2-x2/b2=1(a0、b0)几何图形范围x a 或 x -a 对称性中心对称，轴对 称顶 点a、b、c 的含义
3、离心率e焦距与实轴长 的比 e=c/ae1y a 或 y -a中心对称，轴对称A1(0,-a ) , A2(0,a)A1(- a, 0) , A2(a, 0)a（实半轴长） c（半焦距长） b（虚半轴长） a2=c2-b2a （实半轴长） c（半焦距长）b （虚半轴长） a2=c2-b2焦距与实轴长的比 e=c/ae1yxoA2A1B1B2F1F2yF2A2A1B20xF1x=ax=-ay=ay=-a B1四、让我们来讨论双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的 交点，你认为对吗？讨论并给出答案.yF2B1A2A1B20xF1五、让我们共同分析例1、求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和 虚半
4、轴长、焦点坐标、离心率. 分析：化为标准方程： y2/16-x2/9=1 确定焦点位置：在y轴上找出a、b的值：a=4,b=3 代入关系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4 写出结果：a=4,b=3,F1(0, 5),F2(0,-5),e=5/4.六、练一练求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标 . (1)x2-4y2=16 (2) x2/49-y2/25=-1解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0)（2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5) 请思考：如若求半焦距长和离心率呢？小结：关键在于求实半轴a的长和虚半轴b的长， 然后代入关系式c2=a2+
5、b2、e=c/a求半焦距c的长及 离心率.七、让我们继续研究请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸 时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近.请思考：结论正确吗 ?F2yB1A2A1B20xF1（一）、我们共同来设计一个方案：八、我们一起来证明1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；2、如何说明双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所 在的直线逐渐接近且不相交呢？ M(x,y)Q（2）如何说明|MQ|逐渐减小且不等于0呢？0xyb aLN(x,Y )（3）如何证明|MN|逐渐减小且不等于0呢？我 们
6、可用方程的思想解决：|MN|=Y- y，求出M、N点坐标即可.为此我们过点M作一条直线L与y轴平行，交 矩形对角线与N点，坐标记为N（ x ，Y）.我 们需证明N点在M点上方，即证y Y.又 |MQ| |MN| ，所只需证明|MN|逐渐减小且 不等于0即可.（1）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M（x, y ），过 M点向矩形的对角线y=bx/a引垂线，垂足为Q点。我们只需说 明|MQ|逐渐减小且不等于0即可.（二）、我们来证明先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部 分的方程可写为0xyN(x,Y)Q M(x,y)在该式子中x (xa)逐渐增大时，|MN|逐渐减小且不等于0. 又|MQ
7、| |MN|，所以|MQ|逐渐减小且不等 于0.即双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩 形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在其 它象限内，我们可类似证明. yN(x,Y)M(x,y)0xQ（三）、请注意：1、当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质； 2、我们把两条直线 y =bx /a 叫做双曲线的渐近线.3、当焦点在x轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐 近线方程为y =bx /a ；当焦点在y轴上时，方程为y2/a2- x2/b2=1(a0,b0)，渐近线方程为y =ax /b .九、动脑筋1、如何求双曲线的渐近线？例：求下列双曲线 的渐近线 （
8、1） 9y2-16x2=144； （2） 9y2-16x2= -144 . 规律总结： （1）求矩形对角线所在的直线方程；解答：（1）y=4x/3 ， （2）y=4x/30yb a（2）化成标准式后再将1换成0或直接将常数项换为0.2、双曲线与其渐近线之间是否是一对一关系？例：当渐近线方程为y=bx/a时，双曲线的标准方 程一定是x2/a2-y2/b2=1吗？为什么？xy=bx/ay=-bx/a3、类比作椭圆的简图,如何较规范地作出 双曲线的图形？例：画出下列双曲线的图形（1） 9y2-16x2=144；（2） x2 -y2= 4 .注:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.0yxM- 3 3
9、4- 4十、让我们来共同回顾本节课我们共同学习了那些内容：椭圆 双曲线标准方程x2/a2+y2/b2=1(ab0)x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)几何图形范围|x |a 、|y | b x a 或 x -a对称性中心对称，轴对称 中心对称，轴对称顶点A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)A1(-a,0 ) 、 A2(a,0)a,b,c的含义a (长半轴长 ) c（半焦距长） b（短半轴长 ） a2=b2+c2a （实半轴长 ）c （半焦距长） b （虚半轴长 ） a2=c2-b2离心率e定义焦距与长轴长 的比 e=c/a01B2B1yxA2A10F
10、1F2yF2 B1A2A1B20xF1X=aX=-a标准方程x2/a2-2/b2=1(a0,b0)y2/a2-x2/b2=1(a0、b0)几何图形范围 x a 或 x -a y a 或 y -a对称性 中心对称，轴对 称中心对称，轴对 称顶 点A1(-a,0 ) , A2(a,0) A1(0,-a ) , A2(0,a)a、b、c的含 义a （实半轴长 ） c（半焦距 ） b （虚半轴长 ） a2=c2-b2a（实半轴长 ） c（半焦距长） b（虚半轴长 ） a2=c2-b2离心率e焦距与实轴长 的比 e=c/ae1焦距与实轴长 的比 e=c/ae1yF2 B1A2A1B20xF1X=aX=-ayxoA2A1B1B2F1F2 双曲线的渐近线yF2yxoA2A1B1B2F1F2当焦点在x轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐 近线方程为y =bx /a ；当焦点在y轴上时，方程为 y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近线方程为y =ax /b .B1A2A1B20xF1X=aX=-a1、离心率e的变化对双曲线图形有何影响？如何解释？ 十一、课后请你思考题0yb aF1CF2x0ye1e2e3e42、 如图，双曲线和椭圆的离心率分别为e1 、e2、e3、e4, 试比较e1、e2、e3、e4 的大小.
