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1、第五章 离散时间傅立叶变换本章内容： 离散时间傅立叶变换的表示；常用信号的傅立叶变换；傅立 叶变换的性质；傅立叶变换的收敛；周期信号的傅立叶变换 ；对偶性；卷积性与相乘性；LTI系统的频域响应与系统的 频域分析；通过对离散时间傅立叶变换的学习，掌握信号在频域的 分析思想、物理含义及系统在频域分析的方法，理解信号 通过系统传输 的不失真条件。5.1 非周期信号的表示：离散时间时间 傅里叶变换变换一、从DFS到DTFT让我们先来观察周期性矩形脉冲信号，取其周期N=10、20与 40时，其频谱的变化情况如下图所示。在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时 ,我们看到: 当信号周期N增大时,频谱的包络
2、形状不变,幅度减小,而频 谱的谱线变 密。当 时,有 ,而从时域看,当周期信号 的周期 时,就变成了一个非周期的有限长序列.可以预 见,对一个非周期的有限长序列,它的频谱应该 是一个连续的 频谱.（如动画5-1所示）对周期信号 由DFS有当 时， ，令 有DTFT显然， 对 是以 为周期的。参看动画5-2将其与 表达式比较有：于是：当 时， ， ， ， 。当k在一个周期范围内变化时， 在 范围内变化，所以 积分区间是 。表明:离散时间序列可以分解为频率在 区间上连续分布的、幅 度为 的复指数分量的线性组合。结论：离散时间非周期信号的傅立叶变换对为 ：二.常用信号的离散时间傅立叶变换1. ,通常
3、 是复函数。的模和相位：信号的幅频特性如下：由图可以得到:时,信号表现为低通特性, 为单调指数衰减; 时,信号表现为高通特性, 为摆动指数衰减。 2、DTFT的收敛问题 三、当序列是无限长序列时,由于 表达式是无穷项级数,当然会 存在收敛问题. ，则 存在，且级数一致收敛于 。 ，则级数以均方误差最小准则收敛于 。 5.2 周期信号的DTFT 对连续时间信号,有 由此推断对离散时间信号 或许有相似的情况.但由于DTFT一定是以 为周期的,因此,频域 的冲激应该是周期性的冲激串: 对其作反变换有: 可见： 由DFS，有 ， 因此,周期信号 可表示为DTFT 从上式可以看出与连续时间傅立叶变换中的
4、形式是完全一致的. 例： 不一定是周期的,当 时， 才是周期的. 的频谱如图所示： 5.3 离散时间傅立叶变换的性质 通过对DTFT性质的讨论,目的在于揭示信号时域和频域特性之 间的关系。 一. 周期性:若 ，则 。二. 线性三. 时移与频移若 ， 则：四. 时间反转若 ，则 。五.共轭对称性若 ，则 。六.时域差分与求和例： ， 七.时域内插定义： 信号时频域的约束关系可参见动画6 八.频域微分九.Parseval定理:对非周期离散时间信号：称为 的能量谱密度函数。 对周期离散时间信号： 称为周期信号的功率谱。5.4 卷积特性 若 ，则 。即是系统的频率特性。说明:该特性提供了对LTI系统进
5、行频域分析的理论基础。例:求和特性的证明 5.5 相乘性质 如果: 则: 由于 和 都是以 为周期的，因此上述卷积称为周 期卷积。 例：y(n) = x(n)c(n)，其中 调制信号的过程可见动画7 5.7 对偶性 一.DFS的对偶性， 由于 本身也是以N为周期的序列,当然也可以将其展开成DFS 形式 即： 或 这表明 序列的DFS系数就是 即：利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的性质对偶到频域得 到相应的性质. 例1:从时移到频移， 利用时移性质有: 由对偶性有: 即是频移特性。 二.DTFT与CFS间的对偶由 知 是一个以 为周期的连续函数。若在时域构造一个以 为周期的连续时间信号
6、则可将其 表示为CFS: ， 比较 和 的表达式可以看出 ，这表明：若 则 利用这一对偶关系,可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去;或 者反之。 例:从CFS的时域微分到DTFT的频域微分CFS的时域微分特性若 ，则 DTFT的频域微分特性例:从CFS的卷积特性到DTFT的相乘特性由CFS的卷积特性 ：由对偶性：如图所示对偶关系示意图 可参看动画5-8 5-9例：求 的 。 ， 5.8 由LCCDE表征的系统 工程中使用相当广泛的一类离散时间LTI系统可以由一个线性常 系数差分方程LCCDE来表征: 一.系统的频域响应对LCCDE描述的系统，有以下的方法可求得系统的频域响应。 方法一: 可
7、以从求解 时的差分方程得到 ,而将 变换而求得 。方法二: 可以通过求出 时方程的解而得到 因 为 是LTI系统的特征函数, 此时的 。方法三: 对方程两边进行DTFT变换,可得到: 通过反变换求得 。例：本章与第4章平行的讨论了DTFT,讨论的基本思路和方法与第4章 完全对应,许多结论也很类似通过对DTFT性质的讨论揭示了离散 时间信号时域与频域特性的关系.不仅看到许多性质与特性在 CTFT中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如DTFT 总是以2为周期的.通过卷积的讨论,对LTI系统建立了频域分析 的方法.同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提 供了理论基础。 对偶性的讨论为我们进一步认识连续时间信号 、离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述之间存在的重 要内在联系,提供了重要的理论根据.深入理解并恰当运用对偶性, 对深刻掌握CFS,DFS,CTFT,DTFT的本质关系有很大帮助。 与 连续时间LTI系统一样,由LCCDE描述的LTI系统可以很方便的由 方程得到系统的频率响应函数 ，实现系统的频域分析,其基本过 程及涉及到的问题与连续时间LTI系统的情况也完全类似.
