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1、TSYTCX探索延拓创新5焦点三角形的应用例4如图所示息知点P是椭圆誓+誓=l上的点,和几是焦点,明乙PF,=30。,求AFPFP的面n.解析在椭圆誓+誓=l中,D=有,=2,.e=丽:l矗又.点P在楠图上|PF】|+1PF,1=2a=2厉蜡由余弓玄炅圃扈拍唰墅Q进扈GnqPF1.1PF,1cos30。=1凤厂1=(2c)2=4D式两迅平方得1PF,12+1PF,2+21PF11。|Ple=20G)-得(2+有1PF,1.1PFP1=16,.1PFT1PFP1=16(2-有),“1PF,1sin30。=8-4吊.Sue=一1PF11IREhutou.cerm变式应用。22已知椭圆箐+羞=l上点
2、,F,为椭圆的焦点,仪1若丿PPF,=0,求AFP,PRF的面积解析“由楠圆的定义,有1PF,1+1PF,|=2a,而在人PF中,由余弦定理有1PF2+1PF-21PR1.1PF,1.cosb=1厕12=402,口2尸【72(IPPT+TPR1-21PF11PF1-21PF1、1PR|cosb=4c2,即4aq2-4G=21PF,1.1PR1(1+cos0)人p=音|PF】|.1PFlsinb国=外-扩廿噩扁扦迫堂叁u-COI点评_椭阆上一点口与两焦点F,构成的三角彤PFF我们通常称其为焦点三角形,在这个三角形中,既可运用刻椭阆定义,又能用到正,余弦定理上述解符过程中还运用了整体思想直接求巾1PF1-1PF1,没有单独求1PF,11PF,|,以减少运算量.例5设P为椭质熹+筐喜=l上任意一点,木为它的一个焦点,求1PF,1的最大值和最小值解析设P为榆国的另一焦点,则由楠圆定义得:1PF1+1PF1=20,一11PFL-1PF1150),两焦点厂(-e,0),尼(c0),P(00)不妨设x轴与楠圆的一个交点为4(a,0),=M二历,由人PF1几为正三角形可知:1PRT1PFT=1厕厂1心二2又焦点到剖闵亿间点谅最瘘诊震冗,于是a-e=归)由(DG)可得:a=2归,)=3,c=归,:.所求椭圆方程为盖+普=L
