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1、三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 一、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一证:情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).则有简介 目录 上页 下页 返回 结束 则(利用格林公式) 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 因此同理可证三式相加, 即得斯托克斯公式 ;定理1
2、目录 上页 下页 返回 结束 情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1 目录 上页 下页 返回 结束 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角
3、形的整个解: 记三角形域为, 取上侧, 则边界, 方向如图所示. 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 解则即例3. 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式 目录 上页 下页 返回 结束 *二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有(2) 对G内任一分段光滑曲线 , 与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束 证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证) 设函数 则定理2 目录 上页 下页 返回 结束 同理可证 故有若(3)成立, 则必有因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有同理证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 与路径无关, 并求函数解: 令 积分与路径无关, 因此例4. 验证曲线积分定理2 目录 上页 下页 返回 结束 三、 环流量与旋度 斯托克斯公式设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 , 引进一个向量记作向量 rot A 称为向量场 A 的称为向量场A定义: 沿有向闭曲线 的环流量.或于是得斯托克斯公式的
5、向量形式 : 旋度 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则角速度为 ,点 M 的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! 为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式的物理意义:例5. 求电场强度 的旋度 .解: (除原点外)这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外法向量,计算解: 例6. 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 *四、向量微分算子定义向量微分算子:它又称为(
6、 Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则高斯公式与斯托克斯公式可写成:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 在内与路径无关在内处处有在内处处有2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 场论中的三个重要概念设梯度:机动 目录 上页 下页 返回 结束 散度:旋度:则课 内 练 习 题课 内 练 习 题课内练习题答案思考与练习则提示:三式相加即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P183 1 (1),(3),(4) ; 2(1),(3) ; 3(1); 4 (2) ; 6补充题: 证明 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家. 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一, 其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法, 在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版 .机动 目录 上页 下页 返回 结束
