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1、 4.2 4.2 日常生活中的经济问题日常生活中的经济问题银行存款与利率银行存款与利率假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0, a1, a2, a3, , an,设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是：a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 家庭教育基金家庭教育基金从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向 银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第
2、 n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的 费用为30000元，按年利率10%计算，小张夫妇每年应向银行存 入多少元?设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,抵押贷款抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共需10万元. 他们已经筹 集4万元，另外6万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为1%，还贷 期限为25年，问小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠 款额为an，则a0=60000,a1=(1+r)a0-x, a2
3、=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,分期付款分期付款小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售. 一台售 价8000元的电脑，可分36个月付款，每月付300元即可. 同时他 收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三 年内还清，年利率为15%. 那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同. 设第n个月后 的欠款额为an，则a0=8000,an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3,贷款模型a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3,一阶线性
4、差分方程一阶线性差分方程在上述模型中，给出了an+1与an之间的递推公式. 将它们写成统一的形式：a0=c, an+1=an+b, n=0,1,2,3, 称此类递推关系为一阶线性差分方程一阶线性差分方程. 当b=0时称为齐次差分方 程，否则称为非齐次差分方程.定义定义1 1 对任意数列A=a1,a2,an,，其差分算子定义如下：a1=a2-a1, a2=a3-a2, an=an+1-an, 定义定义2 2 对数列A=a1,a2,an,，其一阶差分的差分称为二阶 差分, 记为2A=(A). 即：2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an一般
5、地，可以定义n阶差分.例1 用计算机计算存款模型的各阶差分.(*首先计算20年内的存款清单*) r=0.07;a0=1000;an_:=(1+r) an-1;money1=Tablen,an,n,0,20;TableFormJoin年份, 存款额,money1(*其次计算各阶差分*) dan_:=an+1-an;d2an_:=dan+1-dan;d3an_:=d2an+1-d2an;diff=Tablen,an,dan,d2an,d3an,n,0,9;TableFormJoinN,An,Dan,D2an,D3an,diffdif1=Transposediff; TableFormdif13/d
6、if12,dif14/dif13, dif15/dif14差分方程差分方程 a an n=b=b的解的解由 an+1-an=b, n=0,1,2, 得 an-a0=n b.如果a0=c, 则有 an=n b+c.一般地, 差分方程 k an=b 的解是:an=ck nk+ck-1nk-1+c1n+c0, 其中 ck=b/k!.验证如下： an_:=c4n4+c3n3+c2n2+c1n+c0; dan_:=an+1-an;d2an_:=dan+1-dan; d3an_:=d2an+1 -d2an;d4an_:=d3an+1-d3an; d3an/Simplify d4an/Simplify差分方
7、程差分方程 a an+1n+1= = a an n+b+b的解的解定理定理1 1 一阶线性差分方程 an+1= an+b 的通解是：定理定理2 2 对一阶线性差分方程 an+1= an+b,若 | |1, 则 an逐渐远离平衡解 b/(1- ) (发散型不动点).家庭教育基金模型家庭教育基金模型由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,得通解:将 a0=x, =1+r, b=x 代入, 得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解 是:将 a18=30000,r=0.1 代入计算出 x=586.41.购房抵押贷款模型购房抵押贷款模型由 a0=60000, an+1=(
8、1+r)an-x, n=0,1,2,3, 将 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解:若在第N个月还清贷款，令 aN=0, 得:将 a0=60000, r =0.01, N=25*12=300 代入计算出 x=631.93.分期付款模型分期付款模型若小王采取分期付款方式，每月要付300元. 如果采用贷款 方式，类似于上一模型，将 a0=8000, r =0.15/12,N=36 代入计算 出 x=277.32.比较两种支付方式，他应该选择消费贷款方式。4.3 4.3 Fibonacci Fibonacci 数列数列问题问题13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作算盘书中记载着这样
9、一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 总总数 1 1 2 3 5 8 13 21 将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系：f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.Fibon
10、acci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱2. 钢琴音阶的排列3. 树的分枝4. 杨辉三角形观察观察FibonacciFibonacci数列数列(*计算Fibonacci数列的前20项，并作图*) F0=F1=1; Fn_:=Fn-1+Fn-2;fib=TableFi,i,0,20tu1=ListPlotfib,PlotStyle-PointSize0.018; (*取对数后再观察，可以发现图像近似一条直线.*)lgf=Logfib;tu2=ListPlotlgf,PlotStyle-PointSize0.018; (*使用线性函数对数据进行拟合*)fx_=Fitlgf,1,x,xtu3=Pl
11、otfx,x,0,21,PlotStyle-RGBColor0,0,1;Showtu3,tu2通过计算可知， fn0.465577 e 0.478438n.Fibonacci Fibonacci 数列的通项公式数列的通项公式Fibonacci 数列满足递推关系 fn+2 = fn+1 + fn，称为二阶线性差 分方程.通过前面的计算，可以猜测 fn 具有指数形式.不妨设 fn =n, 代入差分方程，得 2- -1=0. 其解记为1, 2. 得到差分方程的通解为: fn =C11n+C22n.r=Solvex2-x-1=0,x;a=x/.r1;b=x/.r2;F1n_:=c1 an+c2 bn;
12、cc=SolveF10=1,F11=1,c1,c2/SimplifyF1n/.cc1/Simplify生成函数生成函数对给定数列a0,a1, an,，以an为系数构造一个形式幂级数： G(x)= a0+ a1x+ a2x2+an xn+ 称为数列an的生成函数生成函数(也称为母函数母函数).例例1 1. 有限数列 的生成函数是 G(x)=(1+x)n.例例2 2. 无穷数列 的生成函数是 G(x)=ex.例例3 3. 以G(x)= 为生成函数的数列是an=2n-1.Fibonacci Fibonacci 数列的生成函数数列的生成函数设Fibonacci 数列的生成函数是:F(x)= f0+ f
13、1x+ f2x2+fn xn+, 其中 fn+2 = fn+1 + fn .由 ，得 .从而得 .再由 f0=f1=1, 得:4.5 4.5 分叉与混沌分叉与混沌Logistic Logistic 方程方程在受环境制约的情况下，生物种群的增长变化行为比较复 杂. 例如在池塘内，环境可供1000条鱼生存.在鱼的数量远远 低于此数时，鱼群的增长接近于指数增长. 但当鱼的数量接近生存限时，由于生态环境逐渐恶化，鱼群的增长逐渐变慢， 几乎停止增长. 如果鱼群数量超过了生存限，由于环境不堪重 负，鱼群会出现负增长.这种现象可以用logistic方程进行刻画.pn+1-pn=k pn(N-pn)例例1 1 池塘中鱼的数量满足差分方程pn+1-pn=0.001 pn(1000-pn) 选择不同的初值，观察鱼群数量的变化趋势.px_:=2x-0.001x2;picta_:=Moduledata1,data1=NestListp,a,30;ListPlotdata1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.018pict0;pict1;pict500;pict1000;pict1500;例例2 2
