《地图学数学基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《地图学数学基础（124页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 章 地图的数学基础 3.1 地球体 3.2 地球坐标系与大地定位 3.3 地图投影的基本知识 3.4 地图投影的分类 3.5 方位投影 3.6 圆柱投影 3.7 圆锥投影 3.8 其它投影 3.9 地图投影的辨认和选择一 地球的自然表面浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正 球体。机舱窗口俯视大地 : 地表是一个有些微起伏、极其复杂 的表面。 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。事实是：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径 略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。二地球的物理表面当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方 向（铅垂线）成正
2、交，这个面叫水准面。 大地水准面:假定海水静止不动,将海水面无限延伸 ,穿出大陆包围地球的球体。它实际是一个起伏不平 的重力等位面地球物理表面。大地体:大地水准面包围的形体。大地水准面的意义 1. 地球形体的一级逼近_大地体：对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺 少的相当。 2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制 图业务中，均把地球当作正球体。 3. 实质是重力等位面：可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面 的高度）。三 地球的数学表面在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地 球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简 称椭球体。它是一个规则 的数学表面
3、， 所以人们视其 为地球体的数 学表面，也是 对地球形体的 二级逼近，用 于测量计算的 基准面。椭球体三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 fEquatorial AxisPolar AxisNorth PoleSouth PoleEquatorabWGS world geodetic system 84 ellipsoid:a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40
4、075.1km surface area = 510 064 500km2a - b 6378137 - 6356752.3f = = a 63781371 = 298.257f对 a，b，f 的具体测定就是近代 大地测量的一项重要工作。对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准 面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水 准面符合最好的一个地球椭球体 参考椭球体，这 项工作就是参考椭球体定位。通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近 参考椭球体。由于国际上在推求年代、方法及测定的地区 不同，故地球椭球体的元素
5、值有很多种。返回地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面 坐标系统的建立。一地理坐标 用经纬度表示地面点位的球面坐标。天文经纬度大地经纬度地心经纬度 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位 置，用天文经度和天文纬度表示。天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两 面角。天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置 ，用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。大地经度l ：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间
6、的两面角。 东经为正，西经为负。大地纬度 ：指参考椭球 面上某点的垂直线（法线 ）与赤道平面的夹角。北 纬为正，南纬为负。 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点， 地心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面 上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。在大地测量学中，常以 天文经纬度定义地理坐标。在地图学中，以大地经纬 度定义地理坐标。在地理学研究及地图学的 小比例尺制图中，通常将椭 球体当成正球体看，采用地 心经纬度。二 中国的大地坐标系 统1.中国的大地坐标系ICA-75椭球参数a = 6 378 140m b = 6 356 755m f =1/298.257中国1952年前采用
7、海福特（Hayford）椭球体 ；19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏 联玻尔可夫天文台） ；自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理学 联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳 县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的 起算点大地原点。平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成， 由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为一等三角锁、二 等三角网、三等三角网、四等三角网四等。三角测量：在全国范围内将控制点组成一系列的三角形，通过测
8、 定所有三角形的内角，推算出各控制点的坐标。导线测量：把各个控制点连接成连续的折线，然后测定这些折线 的边长和转角，最后根据起算点的坐标和方位角推算其他各点坐 标。包括闭合导线、附合导线、支导线。布设原则：由高级到低级，由整体到局部，步步有检核。由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国 各地。二 中国的大地坐标系统等级边长分布密度分布方向一等三角锁2025km锁与锁间距200km沿经纬线分布二等三角网13km150km2有一控制点（1：10万，1：5 万3点）在一等加密三等三角网8km50km2有一控制点（1：5万23点）在二等加密四等三角网4km20km2有一控制点（1：1万2点）在三等
9、加密高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以 水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。中国高程起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点（72.289m)，其他各控 制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用1985国家高程基准取代 黄海平均海水面，其比黄海平均海水面上升29毫米。 （72.260m) 青岛观象山 水准原点绝对高程（海拔）：地面点到大地水准面的垂直距离。相对高程：地面点到任一水准面的垂直距离。高差：某两点的高程之差。国家测绘局国家测绘局国家测绘局国家测绘局三全球定位系统 - GPS授时与测距
10、导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System-GPS)：是以人 造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实 时动态定位、定时及导航服务。 GPS系统的组成部分:空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在 高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上， 轨道倾角55，两个轨道面之间在经度上相隔60，每个轨 道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球 上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监
11、测站 。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的 参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于 GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。用户设备部分：GPS接收机接收卫星信号，经数据 处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示 出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如 到航路点的距离和航向或提供图示。 返回一、地图投影的基本知识一、地图投影的基本知识地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成 地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。 地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平 面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图 投影的产生、发展、直
12、到现在，已有一千多年的历史 ，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门 独立的学科。我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最 基本的投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从 而能够正确的辨认使用各种常用的投影。 研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与 地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实 缩小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后 经纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们分 析一下地球仪上经纬网的特点：1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬线 都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。3.经线
13、和纬线是相互垂直的。4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的 纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不 等，由赤道向两极递减。5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，同 一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越高 ，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。 二、地图表面和地球球面的矛盾地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面， 因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可 展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱 。无论是将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点 结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。三、 地图投影的定义地球椭球
14、体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表 示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数 关系的数学方法。 地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定 的数学法则转移到平面上。四、 地图投影变形1.投影变形的概念把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以 发现变形表现在长度、面积和角度三个方面。2.变形椭圆取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投会变为椭圆，
15、通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比；为纬线长度比微小圆变形椭圆该方程证明: 地球面上的微小圆， 投影后通常会变为椭圆，即：以O为原 点，以相交成q角的两共轭直径为坐标 轴的椭圆方程式。代入： X2 + Y2 = 1，得特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向. 长轴方向(长度比) a短轴方向(长度比) b经线方向(长度比) m 纬线方向(长度比) n统称主方向阿波隆尼定理(Apollonius): 椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；两个共 轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短
16、半径的乘积。根据阿波隆尼定理有:m2 + n2 = a2 + b2mnsinq = ab椭圆共轭直径:过椭圆内任一条直径(图中LL)的平行弦中 点的轨迹(图中KK)。KKLOabmnL五、 地图比例尺1.含义比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线段长度之 比。即比例尺=图上距离/实地距离可表达为（d为图上距离，D为实地距离）根据地图投影变形情况，比例尺分为：主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。2. 比例尺的表示 数字式比例尺 如 1:10000 文字式比例尺 如 百万分之一 图解式比例尺直线比例尺斜分比例尺复式比例尺 特殊比例尺变比例尺无级别比例尺六、 投影变形的相关概念1.长度比和长度变形：长度比(m):投影面上一微小线段dS（变形椭圆半径）和球 面上相应微小线段dS（球面
