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1、第四章 向量组的线性相关性11 向量组及其线性组合定义1：n 个数所组成的有序数组称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 称为第 i 个分量 。这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。2称为行向量。称为列向量。3例. 3 维向量的全体所组成的集合通常称为 3 维Euclid几何空间。称为 R3 中的一个平面。集合4称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。集合称为 n 维Euclid空间。例. n 维向量的全体所组成的集合5例. 非齐次线性方程组的解集合齐次线性方程组的解集合6mn 阵 A 的列向量组:行向量组:同一维数的列向量 (或行向量
2、) 所组成的集合称为向量组。72 向量组的线性相关性定义1：设向量组及一组实数称为向量组 A的一个线性组合，称为线性组合的系数。表达式8定义2：设向量组和向量 b若存在一组实数使得则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合，或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。9例如：则 b 能由线性表示.解方程组既解方程组10所以，得11记12则方程组的向量表示为13定理 1:向量 b可由向量组 线性表示 有解，其中14则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示，定义3: 设向量组 及则称向量组 A 与向量组 B
3、等价。15B 能由 A 线性表示16定理 2:向量组 能由线性表示有解，其中17定理 3:向量组 能由线性表示，则 R(B) R(A) 。其中证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B)而 R(B) R(A, B)，因此 R(B) R(A)。 18定义4：19n 维向量组 线性相关定理4:推论： n 维向量组 线性无关20例2:试讨论向量组 及向量组 的线性相关性.21解：设即系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量 线性相关向量对应分量不成比例，所以线性无关。22例3: n维向量讨论它们的线性相关性.结论: 线性无关解:上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.问题: n=3时 ,分
4、别是什么？23一些结论：(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；(2) 两个向量线性相关当且仅当它们的对应分量成比例; (3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。(4) (4) 向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一 个向量可由其余向量线性表示。 24则向量组也线性相关。则向量组也线性无关。若向量组线性相关，定理5-1：定理5-2：m个n维向量(m n)构成的向量组一定线性相关.特别地, n+1个n维向量线性相关.若向量组线性无关，推论：定理5-3：向量组线性无关,向量组线性相关,则 b 能由向量组A线性表示，且表示式唯一.25例4：已知向量线性
5、无关，向量 可以由向量线性表示，并且证明：线性无关的充要条件是 R(K) = 3证：线性无关。 设 Kx = 0 ，其中则故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3= 026= 0故 Kx = 0 ，而 R(K) = 3，于是 x = 0 ，27例5：已知向量线性无关，证明：向量线性无关。证：线性无关。283 向量组的秩定义1:简称最大无关组, r 称为向量组 A的秩，记作RA （ii）A的任意向量都可由A0线性表示.线性无关,（i）那么称部分组 为向量组 A的一个最大线性无关组，设 A为一个向量组，A的部分组 满足：向量组 的秩也记作29注:（1）只含零向量的向量组
6、没有最大无关组，规定秩为0 。（2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。（4）向量组 A能由A0线性表示。（3）向量组的最大无关组一般不是唯一的。（5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。30例如：在向量组 中， 首先线性无关，又线性相关，所以是一个极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。31例如： 向量组 的秩为2。注意：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。向量组 的秩为2。32例：设矩阵矩阵A 的行向量组是可以验证，是一个最大无关组，所以矩阵A的行向量组秩为3。33矩阵A的列向量组是可以验证是一个最大无
7、关组所以矩阵A的列秩是3。34定理6：矩阵的秩 = 矩阵的行向量组的秩= 矩阵的列向量组的秩证：矩阵 A 经过初等变换变为行最简形 B又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，所以，A的秩 A的列向量组的秩同理，AT 的秩 AT 的列向量组的秩A 的行向量组的秩但是， A 的秩 AT 的秩35例1：向量组求向量组的秩和一个最大无关组。36解：37是一个最大无关组。38例2 ：求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用这个最大无关组线性表示。39解:4041是一个最大无关组.42最大无关组的等价定义:线性无关；（i）那么称部分组 为向量组 A的一个设 A为一个向量组，A的部分组 满足：
8、（ii）A的任意向量都能由 线性表示。最大无关组。43证：只需证明 A中的任意 r+1个向量都线性相关。设 为 A中的 r+1个向量，由(ii)知，这 r+1个向量能由 A0 线性表示，故因此，这 r+1个向量线性相关。44线性表示的充要条件是定理2：向量组能由向量组线性表示，则定理3：若向量组能由向量组454 线性方程组解的结构(1) 齐次线性方程组或461. 解的性质则 仍然是 的解。性质1：若 是 的解，则 仍是 的解。性质2：若 是 的解，472. 基础解系设是的解，满足线性无关；的任一解都可以由线性表示。则称是的一个基础解系。48定理7：设是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，
9、且每个基础解系中含有个解向量。证明分三步: 1. 以某种方法找 个解。2. 证明这个解线性无关。3. 证明任一解都可由这个解线性表示。49证明:化为行 最简形50与B对应的方程组51（1）令依次为得方程组的通解52（2）向量组线性无关。综合(1) (2)得, 向量组(C)是齐次线性方程组的基础解系.(C)53的通解是记则是令为所得。54例4 : 求下列齐次方程组的通解。解：55初等行变换行最简形矩阵对应的方程组为是自由变量。(2)56法1：先求通解，再求基础解系 令则即57法2：先求基础解系，再求通解。在(2)中令得则通解为58解：例5 : 求下列齐次方程组的通解。59初等行变换令得通解60(
10、2) 非齐次性线性方程组对应的齐次线性方程组61例8 : 线性方程组在三维直角坐标系中分别表示 经过原点的直线。在三维直角坐标系中分别表示 不经过原点的平面。和和62性质1：是 的解，则是对应的齐次线性方程组的解。性质2：是 的解， 是对应的齐次线性方程组的解，则是 的解。63分析:若有解，则其通解为其中是 的一个特解，是 对应的齐次线性方程组 的通解。1. 证明是解；2. 任一解都可以写成的形式。64例6 : 求解非齐次方程组解：6566令得67令得基础解系所以原方程组的通解是68例7 : 求下列方程组的通解。解：69令得得基础解系令所以通解是70例: 设问u, v =?方程组(1)有唯一解
11、;(2)无解;(3)有无穷多解.解:当u2时有唯一解;71当u= 2, v3时, 无解;当u = 2, v = 3时,有无穷多解;通解725 向量空间定义：设 V 为 n 维向量的非空集合，若 V 对于加法及数乘两种运算封闭，则称集合 V 为向量空间说明: 集合 对于加法及数乘两种运算封闭指注意. 0 必是向量空间V 的元素，即73例：3 维向量的全体 是一个向量空间。n 维向量的全体 也是一个向量空间。例：齐次线性方程组的解集合是一个向量空间。不是一个向量空间。但非齐次线性方程组 Ax = b 的解集合74例：判别下列集合是否为向量空间.75不是向量空间。解：所以， 是向量空间。76是否为向
12、量空间.V 称为由向量a, b生成的向量空间。例：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合解：V 是一个向量空间。77由向量组 所生成的向量空间为一般地78定义：设 V 为向量空间, W 是V 的非空子集， 若 W 对于加法及数乘两种运算封闭，则称 W是 V 的子空间。零子空间 V = 0 79例.及都是的子空间。是的子空间，称为齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间，或 A的零空间 。80定义7：设V是向量空间，如果向量满足线性无关。（1）（2）V 中任一向量都可由线性表示，那么，就称向量组是向量空间V 的一个基，r 称为向量空间V 的维数，记作dimVr 并称V 是 r 维向量空间。81注：(1)只含有零向量的向量空间 0 -称为零子空间-没有基，规定其维数为0。(2)如果把向量空间V看作向量组V，则V的基就是向量组V的极大无关组，V的维数就是向量组V的秩。(3)向量空间的基一般不唯一。例. 都是向量空间R3的基。82设是的一个基，x 是中的向量，则称有序数组为向量 x 在基下的坐标。设是的另一个基，并且则称此式为基变换公式，矩阵 P 称为从基到基的过渡矩阵。83
