概率统计课件讲义1.1

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1、 11 随 机 事 件 一、随机现象 二、随机现象的统计规律性 三、样本空间 四、随机事件 五、事件的集合表示 六、事件间的关系与运算 七、随机事件的运算律 一、随机现象 确定性现象与随机现象在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象 一类 是在一定条件下必然出现的现象 称为确定性现象 另一类则 是我们事先无法准确预知其结果的现象 称为随机现象投掷一枚硬币 我们不能事先预知将出现正面还是反面 观察与思考下述试验的性质有什么不同？二、随机现象的统计规律性 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规 律性称为随机现象的统计规律性 由于随机现象的结果事先不能预知 初看起来 随机现象 毫无规律可

2、言 然而人们发现同一随机现象在大量重复出现 时 其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性 从而表明随 机现象也有其固有的量的规律性 二、随机现象的统计规律性 随机试验为了对随机现象的统计规律性进行研究 人们往往要对 随机现象进行观察 我们把对随机现象的观察称为随机试验 简称为试验 一般地 一个随机试验要求满足下列特点 (1)可重复性 试验原则上可在相同条件下重复进行 (2)可观察性 试验结果是可观察的 所有可能的结果是明 确的 (3)随机性 每次试验将要出现的结果是不确定的 事先无 法准确预知 二、随机现象的统计规律性 随机试验为了对随机现象的统计规律性进行研究 人们往往要对 随机现象进行观察

3、我们把对随机现象的观察称为随机试验 简称为试验 随机试验举例某射手对固定目标进行射击 观察其是否射中 观察某地区夏季暴雨次数 观察某电话交换台每日收到的呼叫次数 二、随机现象的统计规律性 历史上投掷硬币试验的记录 投掷一枚均匀硬币时 事先无法准确预知将出现正面还 是反面 但是 当人们重复投掷上千次时 却发现出现正面和 反面的次数大致相等 即各自占总试验次数的比例(即频率)大 致等于05 而且随着试验次数的增加 这一比例会更加稳定地 靠近05 三、样本空间 样本空间我们把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点 而 把所有样本点的全体称为样本空间 样本空间通常用表示 中的点 即样本点 用表示 例1

4、1 在投掷一枚硬币观察其出现正面还是反面的试验 中 有两个样本点 正面、反面 样本空间为正面 反面 记1“正面” 2“反面” 则样本空间可表示为1 2 样本空间举例 三、样本空间 样本空间我们把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点 而 把所有样本点的全体称为样本空间 样本空间通常用表示 中的点 即样本点 用表示 样本空间举例 例12 在投掷一枚骰子 观察其出现的点数的试验中 有6 个样本点 1点 2点 6点 样本空间为1点 2点 6点 或干脆将样本点分别简记为1 2 6 相应地 样本空间记为 1 2 6 三、样本空间 样本空间我们把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点 而 把所有样本点的全

5、体称为样本空间 样本空间通常用表示 中的点 即样本点 用表示 样本空间举例 例13 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数 其样 本点有可数无穷多个 i次 i0 1 2 样本空间为0次 1次 2次 或简记为0 1 2 三、样本空间 样本空间我们把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点 而 把所有样本点的全体称为样本空间 样本空间通常用表示 中的点 即样本点 用表示 样本空间举例 例14 观察一个新灯泡的寿命 其样本点也有无穷多个( 且不可数!) t小时 0t 样本空间为 t小时|0t 或简记为 t|0t0 ) 举例 四、随机事件 在随机试验中 人们除了关心试验的结果本身外 往往还 关心试验的结

6、果是否具备某一指定的可观察的特征 概率论 中将这一可观察的特征称为一个事件 如果一个事件在随机试验中可能发生也可能不发生 则 这样的事件称为随机事件 随机事件 投掷一枚骰子 “点数为偶数”就是一个事件 同样 “点数 小于7”也是一个事件 举例 四、随机事件 如果一个事件在随机试验中可能发生也可能不发生 则 这样的事件称为随机事件 随机事件 投掷一枚骰子 “点数小于7”是必然事件 “点数不小于7” 是不可能事件必然事件与不可能事件如果一个事件在随机试验中必然发生 则这样的事件称 为必然事件 如果一个事件在随机试验中一定不发生 则这样的事件 称为不可能事件 说明虽然必然事件与不可能事件是完全对立的

7、 但它们有一 个共同的特点 那就是在试验之前我们能够准确预知其是否 发生 因而均不是随机事件 通常称之为确定性事件 概率论研究的是随机事件 但为方便起见常常将必然事 件和不可能事件视为随机事件的极端情形 并将随机事件简 称为事件 通常记作A B 四、随机事件 如果一个事件在随机试验中可能发生也可能不发生 则 这样的事件称为随机事件 随机事件 例15 在投掷一枚骰子的试验中 分别记“点数是6”为A “点数小于5”为B “点数小于5的偶数”为C 则A B C均为事件 其中事件A为基本事件 事件B和C均不是 基本事件 它们分别可以由一些基本事件复合而成 比如事件 C可由“点数为2”和“点数为4”两个

8、基本事件复合而成 提示五、事件的集合表示 样本空间是样本点的全体 因而样本空间实际上是所 有样本点构成的集合 相应的每一样本点是该集合中的元素 一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果 所构成 所以一个事件对应于中具有相应特征的样本点(元 素)构成的集合 它是的一个子集任何一个事件 可以用样本空间的某一子集来表示 通 常用符号A B 来记 某事件发生 就是属于该集合的某一样 本点在试验中出现 事件的集合表示 五、事件的集合表示 例16 在例1 5中 样本空间为1 2 3 4 5 6 事件B 和C则可分别表示为B1 2 3 4 C2 4 任何一个事件 可以用样本空间的某一子集来表示 通

9、常用符号A B 来记 某事件发生 就是属于该集合的某一样 本点在试验中出现 事件的集合表示 五、事件的集合表示 说明由于样本空间包含所有可能结果 试验结果必是其中之 一 所以样本空间作为一个事件是必然发生的 即为必然事件 今后用表示必然事件 空集作为的子集不含有任何样本点 不管试验的结果 是什么 作为一个事件总不会发生 因而是不可能事件 今 后用来表示不可能事件 任何一个事件 可以用样本空间的某一子集来表示 通 常用符号A B 来记 某事件发生 就是属于该集合的某一样 本点在试验中出现 事件的集合表示 说明 六、事件间的关系与运算 1 事件的包含 如果事件A发生必然导致B发生 则称事件B包含事

10、件A 或称事件A包含于事件B 或称A是B的子事件 记作BA或AB AB属于A的每一个样本点一定也属于B 对任意事件A 易知A 说明 六、事件间的关系与运算 2 事件的相等如果事件A包含事件B 事件B也包含事件A 则称事件A与 B相等(或等价) 记作AB 相等的两个事件总是同时发生或同时不发生 AB A与B所含的样本点完全相同 1 事件的包含 如果事件A发生必然导致B发生 则称事件B包含事件A 或称事件A包含于事件B 或称A是B的子事件 记作BA或AB 3 事件的并(或和)“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的 并(或和) 记作AB或AB六、事件间的关系与运算 说明 事件AB是由A

11、和B的样本点共同构成的事件 例17 在投掷一枚骰子的试验中 记A“点数为奇数” B“点数小于5” 则 AB1 2 3 4 5 3 事件的并(或和)“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的 并(或和) 记作AB或AB六、事件间的关系与运算 说明 4 事件的交(或积)“事件A和B都发生”这一事件称为事件A与B的交(或积) 记作AB(或AB)AB实际上是由A和B的公共样本点所 构成 3 事件的并(或和)“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的 并(或和) 记作AB或AB六、事件间的关系与运算 说明 4 事件的交(或积)“事件A和B都发生”这一事件称为事件A与B的交(或积) 记

12、作AB(或AB)两个事件的并与交可以推广到有限个 或可数个事件的并与交 举例 六、事件间的关系与运算 在投掷一枚骰子的试验中 记A“点数为奇数” B“点数小于5” 则 AB1 3 3 事件的并(或和)“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的 并(或和) 记作AB或AB4 事件的交(或积)“事件A和B都发生”这一事件称为事件A与B的交(或积) 记作AB(或AB)六、事件间的关系与运算 5 事件的差“事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记 作AB 举例 在投掷一枚骰子的试验中 记A“点数为奇数” B“点数小于5” 则 AB5 六、事件间的关系与运算 5 事件的差“事件A发

13、生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记 作AB 6 互不相容事件若事件A与B不可能同时发生 也就是说 AB是不可能事 件 即AB 则称事件A与B是互不相容事件 六、事件间的关系与运算 5 事件的差“事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记 作AB 6 互不相容事件若事件A与B不可能同时发生 也就是说 AB是不可能事 件 即AB 则称事件A与B是互不相容事件 7 对立事件“事件A不发生” 这一事件称为事件A的 对立事件 记作A 六、事件间的关系与运算 5 事件的差“事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记 作AB 举例 6 互不相容事件若事件A与B不可能同时发生 也

14、就是说 AB是不可能事 件 即AB 则称事件A与B是互不相容事件 在投掷一枚骰子的试验中 “点数小于3”和“点数大于4”这 两个事件是互不相容事件 7 对立事件“事件A不发生” 这一事件称为事件A的对立事件 记作A 说明 六、事件间的关系与运算 5 事件的差“事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差 记 作AB 6 互不相容事件若事件A与B不可能同时发生 也就是说 AB是不可能事 件 即AB 则称事件A与B是互不相容事件 7 对立事件“事件A不发生” 这一事件称为事件A的对立事件 记作A 在一次试验中 如果A发生 则A一定不发生 如果A不发 生 则A一定发生 因而有AA AA 举例在投掷一枚骰子的试验中记A为事件“点数为偶数” 则A 为事件“点数为奇数” 六、事件间的关系与运算 5 事件的差“事件A发生而B不发生”