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1、5.1变系数二阶线性齐次常 微分方程的特殊解法 一.引言 二.线性常微分方程的变换性质 三.常系数化法 四.降阶法 一.引言 1. 求解二阶线性常微分方程的重要性 2. 困难 3. 解决问题的途径 二. 线性常微分方程的变换性 质 设最一般的二阶变系数线性齐次常微分方 程为（5。11） 1. 方程（5。11）对自变量的任意变换 的保线性性 2. 方程（5。11）对未知函数的线性变 换的保线性性 三.常系数化法1.通过自变量的变换使方程的系数化 为常数 2.通过未知函数的齐次线性变换使方 程的系数化为常数 例. 将uler型方 程解: 将方程化为标准型(.)(a,b为常数) 常系数化例.2. 将
2、 阶essel方程 ( 为常数)常系数化. 解 :根据判别式若可以经未知函数的线性变换常系数化,只要在 (5.1-12)中取 1.dAlembert 降阶法设已知一个特解（用观察法）y1,用变换 y=uy1 可以把原方程化为关于u的一阶线 性方程。 2.利用算子因式分解降阶四. 降阶法 END1.求解二阶线性常微分方程 的 重要性 这些方程是物理学与科学技术最常见的，有直接应 用；是解高阶线性常微分方程的基础；是解数学物理方程和学习后继课程的基础 。 2. 困难 最一般的二阶变系数线性常微分方程 非常难解，至今没有一般的方法。3. 解决问题的途径 一阶线性常微分方程总是可解的;降阶法化二阶为一阶. 二阶常系数线性常微分方程总是可解的;常系数化法化变系数为常系数.如：著名的Euler方程及其它一些方程。 但是，都没有解决哪些方程可以常系数 化，用什么变换，怎么找到这个变换，变 换成什么样的常系数方程，以便迅速求解 。1.方程（5。11）对自 变 量的任意变换的保线性性 方程（5。11）化为2. 方程（5。11）对未知 函数的线性变换的保线性性 若=0，上式化为1.通过自变量的变换使方程 的系数化为常数 如2.通过未知函数的齐次线性变 换使方程的系数化为常数
