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1、一、二阶行列式的引入用消元法解二元(一次)线性方程组:1.1 n阶行列式的定义与性质(1) (2)(1)a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2)a12:a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,两式相减消去x2, 得 (a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;方程组的解为由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义定义即主对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注意 分母都为原方程组的系数行列式.例例1 1解二、三阶行列式定义定义记
2、记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式三阶行列式.(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标(2)(2)对角线法则对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式如果三元线性方程组的系数行列式利用三阶行列式求解三元线性方程组2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.若记或记即得得则三元线性方程组的解为:例例解解按对角线法则，有例例3 3解解方程左端例4 解线性方程组解解由于方程组的系数行列式同理可得故方程组的解为:二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.对角
3、线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答解设所求的二次多项式为由题意得得一个关于未知数 的线性方程组,又得故所求多项式为1.2 全排列及其逆序数引例: 用1, 2, 3三个数字, 可以组成多少个没有重 复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题, 答案是: 3! = 6.将此问题推广: 把n个不同的元素按先后次序排成 一列, 共有多少种不同的排法.定义: 把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个元 素的全排列(或排列).n 个不同的元素的所有排列的种数, 通常用 Pn 表 示, 称为排列数.Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n! 一、全排列二、排列的逆
4、序数定义: 在一个排列 i1 i2 is it in 中, 若数 isit, 则称这两个数组成一个逆序.例如: 排列32514 中,我们规定各元素之间有一个标准次序. 以 n 个不 同的自然数为例, 规定由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序定义: 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.3 2 5 1 4逆序数为31 故此排列的逆序数为: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5.例如: 排列32514 中,计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.方法1: 分别计算出排在1,2, , n 前面比它大的数 码的个数并求和,
5、即先分别算出 1,2, , n 这 n 个元素 的逆序数, 则所有元素的逆序数的总和即为所求排列 的逆序数.方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的 数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则 所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1: 求排列32514的逆序数. 解: 在排列32514中, 3排在首位, 则3的逆序为0; 2的前面比2大的数只有一个3, 故2的逆序为1;3 2 5 1 4没有比5大的数, 故其逆序为0; 个, 故其逆序为3; 4的前面比4大的数有1个, 故逆序为1.5的前面 1的前面比1大的数有3即于是排列32514的逆序数为 t = 0+1+0+3+
6、1 = 5.解:此排列为偶排列.例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性. (1) 217986354. 2 1 7 9 8 6 3 5 40 1 0 0 1 3 4 4 5 于是排列217986354的逆序数为: t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18.(2) n(n1)(n2) 21 解: n (n1) (n2) 2 1012(n1)(n2)t = 0+1+2+ +(n2)+(n1)于是排列n(n1)(n2) 21的逆序数为:此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列. (3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k. (2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k解:0121233(k1) (k1) kt = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序数为:此排列当 k 为偶数时为偶排列, 当 k为奇数时为奇 排列.1. n个不同的元素的所有排列种数为n!个;2. 排列具有奇偶性;3. 计算排列逆序数常用的方法有两种.三、小结
