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1、课程名称复变函数 教 材复变函数(四版)西安交通大学高等数学教研室 编 总 学 时40学时教师姓名张炜课程简介对 象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。复数与复变函数、解析函数、学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。背 景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于
2、对复 数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又 得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪， J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783) 等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清 了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流 体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认 接受，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和K.Weierstrass(1815- 1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B. Riemann (182
3、6-1866)研究了复变函数的映照性质。 他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努 力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数 学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学 等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论 物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分 支的联系也日益密切。虚部 Im(z) = y .(real part) (imaginary part) 复数的模 判断复数相等定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)
4、+i(x2y1+x1y2)2. 代数运算 四则运算四则运算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即， 共轭复数的性质共轭复数的性质3.共轭复数定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. (conjugate)& 1. 点的表示& 2. 向量表示法& 3. 三角表示法& 4. 指数表示法2 复数的表示方法1. 点的表示点的表示：A 数z与点z同义.2. 向量表示法A oxy(z) P(x,y
5、)xy称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时)辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，把其中满足 的0称为辐角Argz的主值， 记作0=argz。A z=0时，辐角不确定。 计算 argz(z0) 的公式A 当z落于一,四象限时，不变。 A 当z落于第二象限时，加 。 A 当z落于第三象限时，减 。 oxy(z)z1z2z1+z2z2- z1由向量表示法知3. 三角表示法4. 指数表示法引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例1 用复数方程表示:（1）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；（2）中心在点(0, -1),半径为2的圆。oxy(z)Lz1z2z解 （1） z=z1+t (z2-z1)（- 0为半径的 圆 | z -z 0| 0, 对任意 z D, 均有zG=z | |z|0）是单连通的；0r|z|R是多连通的。单连通域多连通域多连通域单连通域作业P31 1（）（），（）（）（），（）（），（）（）（）（）（）（）
